حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 x^{4} - 2 x + \frac{4}{x^{3}} + 8 \sqrt{x} + 6$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{4} - 2 x + \frac{4}{x^{3}} + 8 \sqrt{x} + 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 2.3

اضرب $4$ في $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 x^{3} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$12 x^{3} - 2 + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4}{x^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{3}}$ بالصيغة ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{3}$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 4.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3}$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 4.5

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 4.5.2

اضرب $3$ في $- 2$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 4.6

اضرب $3$ في $- 1$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 4.7

اضرب $x^{- 6}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

انقُل $x^{2}$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 4.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$12 x^{3} - 2 + 4 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 4.7.3

اطرح $6$ من $2$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 4.8

اضرب $- 3$ في $4$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 5.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 5.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 5.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 5.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 5.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 5.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 5.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 5.9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 5.10

اجمع $8$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{8 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 5.11

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{8}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 5.12

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 5.13

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.13.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{2 \cdot 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 5.13.2

ألغِ العامل المشترك.

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 5.13.3

أعِد كتابة العبارة.

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 6

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

خطوة 7.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $- 12$ و $\frac{1}{x^{4}}$ .

$12 x^{3} - 2 + \frac{- 12}{x^{4}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

خطوة 7.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$12 x^{3} - 2 - \frac{12}{x^{4}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

خطوة 7.2.3

أضف $12 x^{3} - 2 - \frac{12}{x^{4}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ و $0$ .

$12 x^{3} - 2 - \frac{12}{x^{4}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.3

أعِد ترتيب الحدود.

$12 x^{3} - \frac{12}{x^{4}} - 2 + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$