حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 x^{4} \sqrt{x} + \frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{4} \sqrt{x} + \frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{4} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{4} \sqrt{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

خطوة 2.2

اضرب $x^{4}$ في $x^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x^{\frac{1}{2}} x^{4})] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

خطوة 2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2} + 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

خطوة 2.2.3

لكتابة $4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

خطوة 2.2.4

اجمع $4$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

خطوة 2.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1 + 4 \cdot 2}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

خطوة 2.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1 + 8}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

خطوة 2.2.6.2

أضف $1$ و $8$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{9}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

خطوة 2.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{\frac{9}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{9}{2}$ .

$3 (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

خطوة 2.5

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

خطوة 2.6

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

خطوة 2.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 (\frac{9}{2} x^{\frac{9 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

خطوة 2.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$3 (\frac{9}{2} x^{\frac{9 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

خطوة 2.8.2

اطرح $2$ من $9$ .

$3 (\frac{9}{2} x^{\frac{7}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

خطوة 2.9

اجمع $\frac{9}{2}$ و $x^{\frac{7}{2}}$ .

$3 \frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

خطوة 2.10

اجمع $3$ و $\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 (9 x^{\frac{7}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

خطوة 2.11

اضرب $9$ في $3$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 3.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2 + \frac{1}{2}}}]$

خطوة 3.2.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

خطوة 3.2.3

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

خطوة 3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}}]$

خطوة 3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{\frac{4 + 1}{2}}}]$

خطوة 3.2.5.2

أضف $4$ و $1$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{\frac{5}{2}}}]$

خطوة 3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{5}{2}}}]$

خطوة 3.4

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{3}{x^{\frac{5}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}]$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{\frac{5}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

خطوة 3.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

خطوة 3.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{\frac{5}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{2 + \frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

خطوة 3.6.3.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

خطوة 3.6.3.3

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

خطوة 3.6.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

خطوة 3.6.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.5.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{\frac{4 + 1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

خطوة 3.6.3.5.2

أضف $4$ و $1$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{\frac{5}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{\frac{5}{2}})}^{- 2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

خطوة 3.8

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{\frac{5}{2} \cdot - 2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

خطوة 3.8.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{\frac{5}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

خطوة 3.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{\frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

خطوة 3.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{5 \cdot - 1} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

خطوة 3.8.3

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

خطوة 3.9

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

خطوة 3.10

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

خطوة 3.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}))$

خطوة 3.12

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}))$

خطوة 3.12.2

اطرح $2$ من $5$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 3.13

اجمع $\frac{5}{2}$ و $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 5} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$

خطوة 3.14

اجمع $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ و $x^{- 5}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 x^{\frac{3}{2}} x^{- 5}}{2})$

خطوة 3.15

اضرب $x^{\frac{3}{2}}$ في $x^{- 5}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.15.1

انقُل $x^{- 5}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 (x^{- 5} x^{\frac{3}{2}})}{2})$

خطوة 3.15.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 x^{- 5 + \frac{3}{2}}}{2})$

خطوة 3.15.3

لكتابة $- 5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 x^{- 5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{2})$

خطوة 3.15.4

اجمع $- 5$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 x^{\frac{- 5 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}{2})$

خطوة 3.15.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 x^{\frac{- 5 \cdot 2 + 3}{2}}}{2})$

خطوة 3.15.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.15.6.1

اضرب $- 5$ في $2$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 x^{\frac{- 10 + 3}{2}}}{2})$

خطوة 3.15.6.2

أضف $- 10$ و $3$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 x^{\frac{- 7}{2}}}{2})$

خطوة 3.15.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 x^{- \frac{7}{2}}}{2})$

خطوة 3.16

انقُل $x^{- \frac{7}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}})$

خطوة 3.17

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + 3 \frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 3.18

اجمع $3$ و $\frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{3 \cdot 5}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 3.19

اضرب $3$ في $5$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{15}{2 x^{\frac{7}{2}}}$