حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 5 x \sin (\frac{1}{x})$

خطوة 1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x \sin (\frac{1}{x})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x \sin (\frac{1}{x})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x \sin (\frac{1}{x})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \sin (\frac{1}{x})$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})] + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{1}{x}$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$5 (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{1}{x}$ .

$5 (x (\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$5 (x (\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$5 (x (\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$5 (x^{- 2} x^{1} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$5 (x^{- 2 + 1} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أضف $- 2$ و $1$ .

$5 (x^{- 1} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 7.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $\cos (\frac{1}{x})$ .

$5 (x^{- 1} (- 1 \cdot \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 7.3

أعِد كتابة $- 1 \cos (\frac{1}{x})$ بالصيغة $- \cos (\frac{1}{x})$ .

$5 (x^{- 1} (- \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 (x^{- 1} (- \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x}) \cdot 1)$

خطوة 9

اضرب $\sin (\frac{1}{x})$ في $1$ .

$5 (x^{- 1} (- \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x}))$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (\frac{1}{x} (- \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x}))$

خطوة 10.2

طبّق خاصية التوزيع.

$5 (\frac{1}{x} (- \cos (\frac{1}{x}))) + 5 \sin (\frac{1}{x})$

خطوة 10.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $\cos (\frac{1}{x})$ .

$5 (- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x}) + 5 \sin (\frac{1}{x})$

خطوة 10.3.2

اضرب $- 1$ في $5$ .

$- 5 \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x} + 5 \sin (\frac{1}{x})$

خطوة 10.3.3

اجمع $- 5$ و $\frac{\cos (\frac{1}{x})}{x}$ .

$\frac{- 5 \cos (\frac{1}{x})}{x} + 5 \sin (\frac{1}{x})$

خطوة 10.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5 \cos (\frac{1}{x})}{x} + 5 \sin (\frac{1}{x})$