حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x) + x^{4}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x) + x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x)] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x)] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{9}$ و $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (\frac{x}{9})] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{4} \ln (\frac{x}{9})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (\frac{x}{9})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (\frac{x}{9})] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = \ln (\frac{x}{9})$ .

$5 (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{9})] + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \frac{x}{9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{9}$ .

$5 (x^{4} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{9}]) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.4.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{4} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{9}]) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{9}$ .

$5 (x^{4} (\frac{1}{\frac{x}{9}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{9}]) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.5

بما أن $\frac{1}{9}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{9}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{4} (\frac{1}{\frac{x}{9}} (\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 (x^{4} (\frac{1}{\frac{x}{9}} (\frac{1}{9} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$5 (x^{4} (\frac{1}{\frac{x}{9}} (\frac{1}{9} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.8

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{x}{9}$ .

$5 (x^{4} (1 \frac{9}{x} (\frac{1}{9} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.9

اضرب $\frac{9}{x}$ في $1$ .

$5 (x^{4} (\frac{9}{x} (\frac{1}{9} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.10

اضرب $\frac{1}{9}$ في $1$ .

$5 (x^{4} (\frac{9}{x} \cdot \frac{1}{9}) + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.11

اضرب $\frac{9}{x}$ في $\frac{1}{9}$ .

$5 (x^{4} \frac{9}{x \cdot 9} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.12

انقُل $9$ إلى يسار $x$ .

$5 (x^{4} \frac{9}{9 \cdot x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.13

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1

ألغِ العامل المشترك.

$5 (x^{4} \frac{9}{9 x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.13.2

أعِد كتابة العبارة.

$5 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.14

اجمع $x^{4}$ و $\frac{1}{x}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.15

احذِف العامل المشترك لـ $x^{4}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.15.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.15.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.15.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.15.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$5 (\frac{x^{3}}{1} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.15.2.5

اقسِم $x^{3}$ على $1$ .

$5 (x^{3} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$5 (x^{3} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + 4 x^{3}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{3} + 5 (\ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + 4 x^{3}$

خطوة 4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $4$ في $5$ .

$5 x^{3} + 20 (\ln (\frac{x}{9}) (x^{3})) + 4 x^{3}$

خطوة 4.2.2

أضف $5 x^{3}$ و $4 x^{3}$ .

$9 x^{3} + 20 \ln (\frac{x}{9}) x^{3}$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (\frac{x}{9})$