حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 5 x^{3 e^{x}}$

خطوة 1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{3 e^{x}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{3 e^{x}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3 e^{x}}]$

خطوة 2

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $x^{3 e^{x}}$ بالصيغة $e^{\ln (x^{3 e^{x}})}$ .

$5 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{3 e^{x}})}]$

خطوة 2.2

وسّع $\ln (x^{3 e^{x}})$ بنقل $3 e^{x}$ خارج اللوغاريتم.

$5 \frac{d}{d x} [e^{3 e^{x} \ln (x)}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 e^{x} \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 e^{x} \ln (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 e^{x} \ln (x)])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$5 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 e^{x} \ln (x)])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 e^{x} \ln (x)$ .

$5 (e^{3 e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [3 e^{x} \ln (x)])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 e^{x} \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$ .

$5 e^{3 e^{x} \ln (x)} (3 \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

خطوة 4.2

اضرب $3$ في $5$ .

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 6

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 7

اجمع $e^{x}$ و $\frac{1}{x}$ .

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} \frac{e^{x}}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

خطوة 9.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اجمع $\frac{e^{x}}{x}$ و $15$ .

$\frac{e^{x} \cdot 15}{x} e^{3 e^{x} \ln (x)} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

خطوة 9.2.2

اجمع $\frac{e^{x} \cdot 15}{x}$ و $e^{3 e^{x} \ln (x)}$ .

$\frac{e^{x} \cdot 15 e^{3 e^{x} \ln (x)}}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

خطوة 9.2.3

اضرب $e^{x}$ في $e^{3 e^{x} \ln (x)}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

انقُل $e^{3 e^{x} \ln (x)}$ .

$\frac{e^{3 e^{x} \ln (x)} e^{x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

خطوة 9.2.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{e^{3 e^{x} \ln (x) + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

خطوة 9.2.3.3

اضرب $3 e^{x} \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.3.1

أعِد ترتيب $\ln (x)$ و $3$ .

$\frac{e^{3 \cdot \ln (x) e^{x} + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

خطوة 9.2.3.3.2

بسّط $3 \cdot \ln (x)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{e^{\ln (x^{3}) e^{x} + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

خطوة 9.2.3.4

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (x^{3}) e^{x} + x$ .

$\frac{e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

خطوة 9.2.4

انقُل $15$ إلى يسار $e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}$ .

$\frac{15 \cdot e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

خطوة 9.2.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x} + 15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

خطوة 9.2.6

لكتابة $15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x} + \frac{15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

خطوة 9.2.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x} + 15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

خطوة 9.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + 15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x}$