حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 500 (1 + (\frac{4 x}{50 + x^{2}}))$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{d}{d x} [500 (\frac{50 + x^{2}}{50 + x^{2}} + \frac{4 x}{50 + x^{2}})]$

خطوة 1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d}{d x} [500 \frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}]$

خطوة 1.2.2

اجمع $500$ و $\frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{500 (50 + x^{2} + 4 x)}{50 + x^{2}}]$

خطوة 1.3

بما أن $500$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{500 (50 + x^{2} + 4 x)}{50 + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $500 \frac{d}{d x} [\frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}]$ .

$500 \frac{d}{d x} [\frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 50 + x^{2} + 4 x$ و $g (x) = 50 + x^{2}$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) \frac{d}{d x} [50 + x^{2} + 4 x] - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $50 + x^{2} + 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.2

بما أن $50$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $50$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4 \cdot 1) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7

اضرب $4$ في $1$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $50 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) (\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.9

بما أن $50$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $50$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.10

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) (2 x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.12

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 (50 + x^{2} + 4 x) x}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.12.2

اجمع $500$ و $\frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 (50 + x^{2} + 4 x) x}{{(50 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 (50 + x^{2} + 4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4) + (- 2 \cdot 50 - 2 x^{2} - 2 (4 x)) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 \cdot 50 x - 2 x^{2} x - 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4)) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.1

وسّع $(50 + x^{2}) (2 x + 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{500 (50 (2 x + 4) + x^{2} (2 x + 4)) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{500 (50 (2 x) + 50 \cdot 4 + x^{2} (2 x + 4)) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{500 (50 (2 x) + 50 \cdot 4 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.2.1

اضرب $2$ في $50$ .

$\frac{500 (100 x + 50 \cdot 4 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.1.2.2

اضرب $50$ في $4$ .

$\frac{500 (100 x + 200 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.1.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.1.2.4

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.2.4.1

انقُل $x$ .

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.1.2.4.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.2.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.1.2.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.1.2.4.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{3} + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.1.2.5

انقُل $4$ إلى يسار $x^{2}$ .

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{3} + 4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{500 (100 x) + 500 \cdot 200 + 500 (2 x^{3}) + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.4.1

اضرب $100$ في $500$ .

$\frac{50000 x + 500 \cdot 200 + 500 (2 x^{3}) + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.1.4.2

اضرب $500$ في $200$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 500 (2 x^{3}) + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.1.4.3

اضرب $2$ في $500$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.1.4.4

اضرب $4$ في $500$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.1.5

اضرب $- 2$ في $50$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} + 500 (- 100 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.1.6

اضرب $- 100$ في $500$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.1.7

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.7.1

انقُل $x$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 (x \cdot x^{2})) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.1.7.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.7.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 (x^{1} x^{2})) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.1.7.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 x^{1 + 2}) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.1.7.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 x^{3}) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.1.8

اضرب $- 2$ في $500$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.1.9

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.9.1

انقُل $x$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 2 (4 (x \cdot x)))}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.1.9.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 2 (4 x^{2}))}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.1.10

اضرب $4$ في $- 2$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 8 x^{2})}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.1.11

اضرب $- 8$ في $500$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

اطرح $50000 x$ من $50000 x$ .

$\frac{100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} + 0 - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.2.2

أضف $100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.2.3

اطرح $1000 x^{3}$ من $1000 x^{3}$ .

$\frac{100000 + 2000 x^{2} + 0 - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.2.4

أضف $100000 + 2000 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{100000 + 2000 x^{2} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4.3

اطرح $4000 x^{2}$ من $2000 x^{2}$ .

$\frac{100000 - 2000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 2000 x^{2} + 100000}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

خطوة 4.6

أخرِج العامل $2000$ من $- 2000 x^{2} + 100000$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

أخرِج العامل $2000$ من $- 2000 x^{2}$ .

$\frac{2000 (- x^{2}) + 100000}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

خطوة 4.6.2

أخرِج العامل $2000$ من $100000$ .

$\frac{2000 (- x^{2}) + 2000 (50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

خطوة 4.6.3

أخرِج العامل $2000$ من $2000 (- x^{2}) + 2000 (50)$ .

$\frac{2000 (- x^{2} + 50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

خطوة 4.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$\frac{2000 (- (x^{2}) + 50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

خطوة 4.8

أعِد كتابة $50$ بالصيغة $- 1 (- 50)$ .

$\frac{2000 (- (x^{2}) - 1 (- 50))}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

خطوة 4.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - 1 (- 50)$ .

$\frac{2000 (- (x^{2} - 50))}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

خطوة 4.10

أعِد كتابة $- (x^{2} - 50)$ بالصيغة $- 1 (x^{2} - 50)$ .

$\frac{2000 (- 1 (x^{2} - 50))}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

خطوة 4.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2000 (x^{2} - 50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$