حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 50 - \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $50 - \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [50] + \frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [50] + \frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

خطوة 1.2

بما أن $50$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $50$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- 25 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$0 - 25 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = t^{2}$ و $g (t) = {(t + 3)}^{2}$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{2}$ و $g (t) = t + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $t + 3$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 u \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $t + 3$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t + 3$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.7

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.8

انقُل $2$ إلى يسار ${(t + 3)}^{2}$ .

$0 - 25 \frac{2 \cdot {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9

أضف $1$ و $0$ .

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) \cdot 1)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.10

اضرب $2$ في $1$ .

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.11

اضرب $2$ في $- 1$ .

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.12

اضرب الأُسس في ${({(t + 3)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.12.2

اضرب $2$ في $2$ .

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 2.13

اجمع $- 25$ و $\frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$ .

$0 + \frac{- 25 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 2.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$0 - \frac{25 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$0 - \frac{25 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} t - 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$0 - \frac{25 (2 {(t + 3)}^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $2$ في $25$ .

$0 - \frac{50 ({(t + 3)}^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.3.2

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t + 25 (- 2 (t^{1} t^{2})) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t + 25 (- 2 t^{1 + 2}) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.3.4

أضف $1$ و $2$ .

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t + 25 (- 2 t^{3}) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.3.5

اضرب $- 2$ في $25$ .

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.3.6

اضرب $3$ في $- 2$ .

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} + 25 (- 6 t^{2})}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.3.7

اضرب $- 6$ في $25$ .

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.3.8

اطرح $\frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$ من $0$ .

$- \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $50 t$ من $50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

أخرِج العامل $50 t$ من $50 {(t + 3)}^{2} t$ .

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2}) - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.4.1.2

أخرِج العامل $50 t$ من $- 50 t^{3}$ .

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2}) + 50 t (- t^{2}) - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.4.1.3

أخرِج العامل $50 t$ من $- 150 t^{2}$ .

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2}) + 50 t (- t^{2}) + 50 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.4.1.4

أخرِج العامل $50 t$ من $50 t ({(t + 3)}^{2}) + 50 t (- t^{2})$ .

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 50 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.4.1.5

أخرِج العامل $50 t$ من $50 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 50 t (- 3 t)$ .

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.4.2

أعِد كتابة ${(t + 3)}^{2}$ بالصيغة $(t + 3) (t + 3)$ .

$- \frac{50 t ((t + 3) (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.4.3

وسّع $(t + 3) (t + 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{50 t (t (t + 3) + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.4.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{50 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.4.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{50 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.4.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1.1

اضرب $t$ في $t$ .

$- \frac{50 t (t^{2} + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.4.4.1.2

انقُل $3$ إلى يسار $t$ .

$- \frac{50 t (t^{2} + 3 \cdot t + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.4.4.1.3

اضرب $3$ في $3$ .

$- \frac{50 t (t^{2} + 3 t + 3 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.4.4.2

أضف $3 t$ و $3 t$ .

$- \frac{50 t (t^{2} + 6 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.4.5

اطرح $t^{2}$ من $t^{2}$ .

$- \frac{50 t (6 t + 9 + 0 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.4.6

أضف $6 t$ و $0$ .

$- \frac{50 t (6 t + 9 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.4.7

اطرح $3 t$ من $6 t$ .

$- \frac{50 t (3 t + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.4.8

أخرِج العامل $3$ من $3 t + 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.8.1

أخرِج العامل $3$ من $3 t$ .

$- \frac{50 t (3 (t) + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.4.8.2

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$- \frac{50 t (3 t + 3 \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.4.8.3

أخرِج العامل $3$ من $3 t + 3 \cdot 3$ .

$- \frac{50 t (3 (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

$- \frac{50 t \cdot 3 (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.4.9

اضرب $3$ في $50$ .

$- \frac{150 t (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.5

احذِف العامل المشترك لـ $t + 3$ و ${(t + 3)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أخرِج العامل $t + 3$ من $150 t (t + 3)$ .

$- \frac{(t + 3) (150 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

خطوة 3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أخرِج العامل $t + 3$ من ${(t + 3)}^{4}$ .

$- \frac{(t + 3) (150 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

خطوة 3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{(t + 3) (150 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

خطوة 3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{150 t}{{(t + 3)}^{3}}$