حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 5 \cos (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{4} \cdot π)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اجمع $π$ و $\frac{3}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{π \cdot 3}{4})]$

خطوة 1.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{3 \cdot π}{4})]$

خطوة 1.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4})]$

خطوة 1.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 \cos (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}$ .

$5 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}])$

خطوة 2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$5 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}$ .

$5 (- \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $- 1$ في $5$ .

$- 5 (\sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}])$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}]$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

خطوة 3.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

خطوة 3.5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

خطوة 3.5.2

اجمع $\frac{2}{2}$ و $x$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

خطوة 3.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

خطوة 3.5.3.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (x + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

خطوة 3.6

بما أن $- \frac{3 π}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \frac{3 π}{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (x + 0)$

خطوة 3.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أضف $x$ و $0$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) x$

خطوة 3.7.2

أعِد ترتيب عوامل $- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) x$ .

$- 5 x \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4})$