حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 600 + \sqrt{200 + 25 x^{2} - x}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $600 + \sqrt{200 + 25 x^{2} - x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [600] + \frac{d}{d x} [\sqrt{200 + 25 x^{2} - x}]$ .

$\frac{d}{d x} [600] + \frac{d}{d x} [\sqrt{200 + 25 x^{2} - x}]$

خطوة 1.2

بما أن $600$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $600$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sqrt{200 + 25 x^{2} - x}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sqrt{200 + 25 x^{2} - x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{200 + 25 x^{2} - x}$ في صورة ${(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 200 + 25 x^{2} - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $200 + 25 x^{2} - x$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [200 + 25 x^{2} - x]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [200 + 25 x^{2} - x]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $200 + 25 x^{2} - x$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [200 + 25 x^{2} - x]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $200 + 25 x^{2} - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [200] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [200] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 2.4

بما أن $200$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $200$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 2.5

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $25 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 25 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 2.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 25 (2 x) - \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 25 (2 x) - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.9

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 25 (2 x) - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.10

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 25 (2 x) - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 25 (2 x) - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.12

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 25 (2 x) - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.12.2

اطرح $2$ من $1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 25 (2 x) - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 25 (2 x) - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.14

اضرب $2$ في $25$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 50 x - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.15

أضف $0$ و $50 x$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{- \frac{1}{2}} (50 x - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.16

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{- \frac{1}{2}} (50 x - 1)$

خطوة 2.17

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(200 + 25 x^{2} - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{{(200 + 25 x^{2} - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (50 x - 1)$

خطوة 2.18

انقُل ${(200 + 25 x^{2} - x)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2 {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (50 x - 1)$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أضف $0$ و $\frac{1}{2 {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (50 x - 1)$ .

$\frac{1}{2 {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (50 x - 1)$

خطوة 3.2

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{2 {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (50 x - 1)$ .

$(50 x - 1) \frac{1}{2 {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.3

اضرب $50 x - 1$ في $\frac{1}{2 {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{50 x - 1}{2 {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}$