حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 7 \cdot x^{4} + 3 \cdot \arctan (7 x^{4})$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 \cdot x^{4} + 3 \cdot \arctan (7 x^{4})$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 \cdot x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$ .

$\frac{d}{d x} [7 \cdot x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [7 \cdot x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$7 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$

خطوة 2.3

اضرب $4$ في $7$ .

$28 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 \arctan (7 x^{4})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\arctan (7 x^{4})]$ .

$28 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [\arctan (7 x^{4})]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arctan (x)$ و $g (x) = 7 x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $7 x^{4}$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [7 x^{4}])$

خطوة 3.2.2

مشتق $\arctan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{4}])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $7 x^{4}$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + {(7 x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{4}])$

خطوة 3.3

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + {(7 x^{4})}^{2}} (7 \frac{d}{d x} [x^{4}]))$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + {(7 x^{4})}^{2}} (7 (4 x^{3})))$

خطوة 3.5

أخرِج العامل $7$ من $7 x^{4}$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + {(7 (x^{4}))}^{2}} (7 (4 x^{3})))$

خطوة 3.6

طبّق قاعدة الضرب على $7 (x^{4})$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + 7^{2} {(x^{4})}^{2}} (7 (4 x^{3})))$

خطوة 3.7

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + 49 {(x^{4})}^{2}} (7 (4 x^{3})))$

خطوة 3.8

اضرب الأُسس في ${(x^{4})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + 49 x^{4 \cdot 2}} (7 (4 x^{3})))$

خطوة 3.8.2

اضرب $4$ في $2$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + 49 x^{8}} (7 (4 x^{3})))$

خطوة 3.9

اضرب $4$ في $7$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + 49 x^{8}} (28 x^{3}))$

خطوة 3.10

اجمع $28$ و $\frac{1}{1 + 49 x^{8}}$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{28}{1 + 49 x^{8}} x^{3})$

خطوة 3.11

اجمع $\frac{28}{1 + 49 x^{8}}$ و $x^{3}$ .

$28 x^{3} + 3 \frac{28 x^{3}}{1 + 49 x^{8}}$

خطوة 3.12

اجمع $3$ و $\frac{28 x^{3}}{1 + 49 x^{8}}$ .

$28 x^{3} + \frac{3 (28 x^{3})}{1 + 49 x^{8}}$

خطوة 3.13

اضرب $28$ في $3$ .

$28 x^{3} + \frac{84 x^{3}}{1 + 49 x^{8}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لكتابة $28 x^{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{1 + 49 x^{8}}{1 + 49 x^{8}}$ .

$\frac{28 x^{3} (1 + 49 x^{8})}{1 + 49 x^{8}} + \frac{84 x^{3}}{1 + 49 x^{8}}$

خطوة 4.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{28 x^{3} (1 + 49 x^{8}) + 84 x^{3}}{1 + 49 x^{8}}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{84 x^{3} + 28 x^{3} (1 + 49 x^{8})}{49 x^{8} + 1}$