حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 7 {(8 x + 1)}^{5} {(8 x - 1)}^{2}$

خطوة 1

أعِد كتابة ${(8 x - 1)}^{2}$ بالصيغة $(8 x - 1) (8 x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} ((8 x - 1) (8 x - 1))]$

خطوة 2

وسّع $(8 x - 1) (8 x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 x (8 x - 1) - 1 (8 x - 1))]$

خطوة 2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 x (8 x) + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x - 1))]$

خطوة 2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 x (8 x) + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

خطوة 3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 \cdot 8 x \cdot x + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

خطوة 3.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 \cdot 8 (x \cdot x) + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

خطوة 3.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 \cdot 8 x^{2} + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

خطوة 3.1.3

اضرب $8$ في $8$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

خطوة 3.1.4

اضرب $- 1$ في $8$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 8 x - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

خطوة 3.1.5

اضرب $8$ في $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 8 x - 8 x - 1 \cdot - 1)]$

خطوة 3.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 8 x - 8 x + 1)]$

خطوة 3.2

اطرح $8 x$ من $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 16 x + 1)]$

خطوة 4

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 16 x + 1)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 16 x + 1)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 16 x + 1)]$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = {(8 x + 1)}^{5}$ و $g (x) = 64 x^{2} - 16 x + 1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [64 x^{2} - 16 x + 1] + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

خطوة 6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $64 x^{2} - 16 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

خطوة 6.2

بما أن $64$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $64 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

خطوة 6.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (64 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

خطوة 6.4

اضرب $2$ في $64$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

خطوة 6.5

بما أن $- 16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 16 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

خطوة 6.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

خطوة 6.7

اضرب $- 16$ في $1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16 + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

خطوة 6.8

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16 + 0) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

خطوة 6.9

أضف $128 x - 16$ و $0$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{5}$ و $g (x) = 8 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $8 x + 1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + (64 x^{2} - 16 x + 1) (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [8 x + 1]))$

خطوة 7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + (64 x^{2} - 16 x + 1) (5 u^{4} \frac{d}{d x} [8 x + 1]))$

خطوة 7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $8 x + 1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + (64 x^{2} - 16 x + 1) (5 {(8 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [8 x + 1]))$

خطوة 8

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل $5$ إلى يسار $64 x^{2} - 16 x + 1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 \cdot (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [8 x + 1])$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 8.3

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 8.5

اضرب $8$ في $1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} (8 + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 8.6

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} (8 + 0))$

خطوة 8.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.1

أضف $8$ و $0$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} \cdot 8)$

خطوة 8.7.2

اضرب $8$ في $5$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 40 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4})$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + (40 (64 x^{2}) + 40 (- 16 x) + 40 \cdot 1) {(8 x + 1)}^{4})$

خطوة 9.2

طبّق خاصية التوزيع.

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16)) + 7 ((40 (64 x^{2}) + 40 (- 16 x) + 40 \cdot 1) {(8 x + 1)}^{4})$

خطوة 9.3

اضرب $64$ في $40$ .

$7 {(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 7 ((2560 x^{2} + 40 (- 16 x) + 40 \cdot 1) {(8 x + 1)}^{4})$

خطوة 9.4

اضرب $- 16$ في $40$ .

$7 {(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 7 ((2560 x^{2} - 640 x + 40 \cdot 1) {(8 x + 1)}^{4})$

خطوة 9.5

اضرب $40$ في $1$ .

$7 {(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 7 ((2560 x^{2} - 640 x + 40) {(8 x + 1)}^{4})$

خطوة 9.6

أخرِج العامل $7 {(8 x + 1)}^{4}$ من $7 {(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 7 (2560 x^{2} - 640 x + 40) {(8 x + 1)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.6.1

أخرِج العامل $7 {(8 x + 1)}^{4}$ من $7 {(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16)$ .

$7 {(8 x + 1)}^{4} ((8 x + 1) (128 x - 16)) + 7 (2560 x^{2} - 640 x + 40) {(8 x + 1)}^{4}$

خطوة 9.6.2

أخرِج العامل $7 {(8 x + 1)}^{4}$ من $7 (2560 x^{2} - 640 x + 40) {(8 x + 1)}^{4}$ .

$7 {(8 x + 1)}^{4} ((8 x + 1) (128 x - 16)) + 7 {(8 x + 1)}^{4} (2560 x^{2} - 640 x + 40)$

خطوة 9.6.3

أخرِج العامل $7 {(8 x + 1)}^{4}$ من $7 {(8 x + 1)}^{4} ((8 x + 1) (128 x - 16)) + 7 {(8 x + 1)}^{4} (2560 x^{2} - 640 x + 40)$ .

$7 {(8 x + 1)}^{4} ((8 x + 1) (128 x - 16) + 2560 x^{2} - 640 x + 40)$