حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 5 {(5)}^{t} + 6 {(6)}^{t}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 {(5)}^{t} + 6 {(6)}^{t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [5 {(5)}^{t}] + \frac{d}{d t} [6 {(6)}^{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [5 {(5)}^{t}] + \frac{d}{d t} [6 {(6)}^{t}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [5 {(5)}^{t}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $5$ في ${(5)}^{t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

ارفع $5$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d}{d t} [5^{1} {(5)}^{t}] + \frac{d}{d t} [6 {(6)}^{t}]$

خطوة 2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d}{d t} [5^{1 + t}] + \frac{d}{d t} [6 {(6)}^{t}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = 5^{t}$ و $g (t) = 1 + t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $1 + t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [1 + t] + \frac{d}{d t} [6 {(6)}^{t}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $5$ .

$5^{u_{1}} \ln (5) \frac{d}{d t} [1 + t] + \frac{d}{d t} [6 {(6)}^{t}]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 + t$ .

$5^{1 + t} \ln (5) \frac{d}{d t} [1 + t] + \frac{d}{d t} [6 {(6)}^{t}]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$5^{1 + t} \ln (5) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [6 {(6)}^{t}]$

خطوة 2.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$5^{1 + t} \ln (5) (0 + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [6 {(6)}^{t}]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5^{1 + t} \ln (5) (0 + 1) + \frac{d}{d t} [6 {(6)}^{t}]$

خطوة 2.6

أضف $0$ و $1$ .

$5^{1 + t} \ln (5) \cdot 1 + \frac{d}{d t} [6 {(6)}^{t}]$

خطوة 2.7

اضرب $5^{1 + t}$ في $1$ .

$5^{1 + t} \ln (5) + \frac{d}{d t} [6 {(6)}^{t}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [6 {(6)}^{t}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $6$ في ${(6)}^{t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $1$ .

$5^{1 + t} \ln (5) + \frac{d}{d t} [6^{1} {(6)}^{t}]$

خطوة 3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$5^{1 + t} \ln (5) + \frac{d}{d t} [6^{1 + t}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = 6^{t}$ و $g (t) = 1 + t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $1 + t$ .

$5^{1 + t} \ln (5) + \frac{d}{d u_{2}} [6^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [1 + t]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $6$ .

$5^{1 + t} \ln (5) + 6^{u_{2}} \ln (6) \frac{d}{d t} [1 + t]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 + t$ .

$5^{1 + t} \ln (5) + 6^{1 + t} \ln (6) \frac{d}{d t} [1 + t]$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$5^{1 + t} \ln (5) + 6^{1 + t} \ln (6) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$5^{1 + t} \ln (5) + 6^{1 + t} \ln (6) (0 + \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5^{1 + t} \ln (5) + 6^{1 + t} \ln (6) (0 + 1)$

خطوة 3.6

أضف $0$ و $1$ .

$5^{1 + t} \ln (5) + 6^{1 + t} \ln (6) \cdot 1$

خطوة 3.7

اضرب $6^{1 + t}$ في $1$ .

$5^{1 + t} \ln (5) + 6^{1 + t} \ln (6)$