حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 49 x {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}$

خطوة 1

بما أن $49$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $49 x {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $49 \frac{d}{d x} [x {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}]$ .

$49 \frac{d}{d x} [x {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}$ .

$49 (x \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}] + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ و $g (x) = 7 x^{2} + 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $7 x^{2} + 10$ .

$49 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{5}{2}$ .

$49 (x (\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $7 x^{2} + 10$ .

$49 (x (\frac{5}{2} {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$49 (x (\frac{5}{2} {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$49 (x (\frac{5}{2} {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$49 (x (\frac{5}{2} {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$49 (x (\frac{5}{2} {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $5$ .

$49 (x (\frac{5}{2} {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{5}{2}$ و ${(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}}$ .

$49 (x (\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ و $x$ .

$49 (\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10] + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 x^{2} + 10$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$49 (\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x}{2} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 10

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$49 (\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x}{2} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$49 (\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x}{2} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 12

اضرب $2$ في $7$ .

$49 (\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x}{2} (14 x + \frac{d}{d x} [10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 13

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $10$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$49 (\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x}{2} (14 x + 0) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 14

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أضف $14 x$ و $0$ .

$49 (\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x}{2} (14 x) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 14.2

اجمع $14$ و $\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x}{2}$ .

$49 (\frac{14 (5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x)}{2} x + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 14.3

اضرب $5$ في $14$ .

$49 (\frac{70 ({(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x)}{2} x + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 14.4

اجمع $\frac{70 ({(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x)}{2}$ و $x$ .

$49 (\frac{70 ({(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x) x}{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 15

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$49 (\frac{70 ({(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} (x^{1} x))}{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 16

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$49 (\frac{70 ({(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} (x^{1} x^{1}))}{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 17

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$49 (\frac{70 ({(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{1 + 1})}{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 18

أضف $1$ و $1$ .

$49 (\frac{70 ({(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 19

أخرِج العامل $2$ من $70 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ .

$49 (\frac{2 (35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 20

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$49 (\frac{2 (35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2 (1)} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 20.2

ألغِ العامل المشترك.

$49 (\frac{2 (35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 20.3

أعِد كتابة العبارة.

$49 (\frac{35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{1} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 20.4

اقسِم $35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ على $1$ .

$49 (35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 21

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$49 (35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \cdot 1)$

خطوة 22

اضرب ${(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}$ في $1$ .

$49 (35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 23

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1

طبّق خاصية التوزيع.

$49 (35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2}) + 49 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}$

خطوة 23.2

اضرب $35$ في $49$ .

$1715 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2} + 49 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}$

خطوة 23.3

أعِد ترتيب الحدود.

$1715 x^{2} {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} + 49 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}$