حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 4 {(\ln (x) + 3)}^{4} + {(\ln (x) + 3)}^{3} + 2$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 {(\ln (x) + 3)}^{4} + {(\ln (x) + 3)}^{3} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 {(\ln (x) + 3)}^{4}] + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(\ln (x) + 3)}^{4}] + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 {(\ln (x) + 3)}^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 {(\ln (x) + 3)}^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{4}] + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = \ln (x) + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\ln (x) + 3$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3]) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3]) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\ln (x) + 3$ .

$4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3]) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\ln (x) + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3])) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.4

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3} (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [3])) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3} (\frac{1}{x} + 0)) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.6

أضف $\frac{1}{x}$ و $0$ .

$4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3} \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.7

اجمع $\frac{1}{x}$ و $4$ .

$4 (\frac{4}{x} {(\ln (x) + 3)}^{3}) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.8

اجمع $\frac{4}{x}$ و ${(\ln (x) + 3)}^{3}$ .

$4 \frac{4 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.9

اجمع $4$ و $\frac{4 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x}$ .

$\frac{4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3})}{x} + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.10

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = \ln (x) + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\ln (x) + 3$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\ln (x) + 3$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\ln (x) + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 3.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2} (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 3.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2} (\frac{1}{x} + 0) + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 3.5

أضف $\frac{1}{x}$ و $0$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2} \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 3.6

اجمع $\frac{1}{x}$ و $3$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{3}{x} {(\ln (x) + 3)}^{2} + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 3.7

اجمع $\frac{3}{x}$ و ${(\ln (x) + 3)}^{2}$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x} + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x} + 0$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x} + 0$

خطوة 5.1.2

أضف $\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x}$ و $0$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x}$

خطوة 5.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل ${(\ln (x) + 3)}^{2}$ من $16 {(\ln (x) + 3)}^{3} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

أخرِج العامل ${(\ln (x) + 3)}^{2}$ من $16 {(\ln (x) + 3)}^{3}$ .

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 (\ln (x) + 3)) + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x}$

خطوة 5.2.1.2

أخرِج العامل ${(\ln (x) + 3)}^{2}$ من $3 {(\ln (x) + 3)}^{2}$ .

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 (\ln (x) + 3)) + {(\ln (x) + 3)}^{2} \cdot 3}{x}$

خطوة 5.2.1.3

أخرِج العامل ${(\ln (x) + 3)}^{2}$ من ${(\ln (x) + 3)}^{2} (16 (\ln (x) + 3)) + {(\ln (x) + 3)}^{2} \cdot 3$ .

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 (\ln (x) + 3) + 3)}{x}$

خطوة 5.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 \ln (x) + 16 \cdot 3 + 3)}{x}$

خطوة 5.2.3

اضرب $16$ في $3$ .

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 \ln (x) + 48 + 3)}{x}$

خطوة 5.2.4

أضف $48$ و $3$ .

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 \ln (x) + 51)}{x}$