حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 \tan (\sqrt{3 x})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3 x}$ في صورة ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 \tan ({(3 x)}^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 1.2

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 \tan ({(3 (x))}^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 1.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 \tan (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 1.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 \tan (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\tan (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\tan (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \tan (x)$ و $g (x) = 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 2.2

مشتق $\tan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\sec^{2} (u)$ .

$3 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 3

بما أن $3^{\frac{1}{2}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4

ارفع $3$ إلى القوة $1$ .

$3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{1} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3^{\frac{1}{2} + 1} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 6.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3^{\frac{1 + 2}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 6.3

أضف $1$ و $2$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 8

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 9

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 11.2

اطرح $2$ من $1$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 12

انقُل السالب أمام الكسر.

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 13

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 14

اجمع $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

خطوة 15

اجمع $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2}$ و $\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2}$

خطوة 16

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$