حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 300000 e^{- 0.09 x + \frac{\sqrt{x}}{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}]$

خطوة 1.2

بما أن $300000$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $300000 \frac{d}{d x} [e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}]$ .

$300000 \frac{d}{d x} [e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$300000 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$300000 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$300000 (e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} \frac{d}{d x} [- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 0.09 x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (\frac{d}{d x} [- 0.09 x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}])$

خطوة 3.2

بما أن $- 0.09$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 0.09 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 0.09 \frac{d}{d x} [x]$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}])$

خطوة 3.4

اضرب $- 0.09$ في $1$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}])$

خطوة 3.5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

خطوة 8

انقُل السالب أمام الكسر.

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

خطوة 10

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2})$

خطوة 11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب $2$ في $2$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{4})$

خطوة 11.2

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 + \frac{1}{4 x^{\frac{1}{2}}})$