حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$h (x) = {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 4.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 4.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 5

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 6

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 7

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 9

أضف $1$ و $1$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 10

اجمع $\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ و $4$ .

$\frac{((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)) \cdot 4}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3}$

خطوة 11

انقُل $4$ إلى يسار $(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)$ .

$\frac{4 \cdot ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3}$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{4 ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

خطوة 12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

خطوة 12.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (1 (- \sin (x))) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

خطوة 12.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{4 (- 1 \sin (x)) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

خطوة 12.4.2

أعِد كتابة $- 1 \sin (x)$ بالصيغة $- \sin (x)$ .

$\frac{4 (- \sin (x)) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

خطوة 12.4.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

خطوة 12.4.4

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

خطوة 12.4.5

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

خطوة 12.4.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

خطوة 12.4.7

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- \sin^{2} (x)) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

خطوة 12.4.8

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

خطوة 12.4.9

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

خطوة 12.4.10

اضرب $\frac{- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ في $\frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$ .

$\frac{(- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)) \cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2} {(1 + \sin (x))}^{3}}$

خطوة 12.4.11

اضرب ${(1 + \sin (x))}^{2}$ في ${(1 + \sin (x))}^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.11.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{(- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)) \cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2 + 3}}$

خطوة 12.4.11.2

أضف $2$ و $3$ .

$\frac{(- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)) \cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

خطوة 12.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

خطوة 12.6

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 \sin (x) - 4 (\sin^{2} (x)) - 4 \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

خطوة 12.7

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 \sin (x) - 4 (\sin^{2} (x)) - 4 (\cos^{2} (x)))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

خطوة 12.8

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 (\sin^{2} (x)) - 4 (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 \sin (x) - 4 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

خطوة 12.9

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 \sin (x) - 4 \cdot 1)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

خطوة 12.10

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 \sin (x) - 4 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.10.1

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 \sin (x)$ .

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 (\sin (x)) - 4 \cdot 1)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

خطوة 12.10.2

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 \cdot 1$ .

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 (\sin (x)) - 4 (1))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

خطوة 12.10.3

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 (\sin (x)) - 4 (1)$ .

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 (\sin (x) + 1))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

$\frac{\cos^{3} (x) \cdot - 4 (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

خطوة 12.11

احذِف العامل المشترك لـ $\sin (x) + 1$ و ${(1 + \sin (x))}^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.11.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\cos^{3} (x) \cdot - 4 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

خطوة 12.11.2

أخرِج العامل $1 + \sin (x)$ من $\cos^{3} (x) \cdot - 4 (1 + \sin (x))$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (\cos^{3} (x) \cdot - 4)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

خطوة 12.11.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.11.3.1

أخرِج العامل $1 + \sin (x)$ من ${(1 + \sin (x))}^{5}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (\cos^{3} (x) \cdot - 4)}{(1 + \sin (x)) {(1 + \sin (x))}^{4}}$

خطوة 12.11.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(1 + \sin (x)) (\cos^{3} (x) \cdot - 4)}{(1 + \sin (x)) {(1 + \sin (x))}^{4}}$

خطوة 12.11.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\cos^{3} (x) \cdot - 4}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

خطوة 12.12

انقُل $- 4$ إلى يسار $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{- 4 \cdot \cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

خطوة 12.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{4 \cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$