حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$h (t) = \frac{t^{2}}{t^{2} + t - 2}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = t^{2}$ و $g (t) = t^{2} + t - 2$ .

$\frac{(t^{2} + t - 2) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + t - 2]}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} + t - 2) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + t - 2]}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 2.2

انقُل $2$ إلى يسار $t^{2} + t - 2$ .

$\frac{2 \cdot (t^{2} + t - 2) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + t - 2]}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{2} + t - 2$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{2 (t^{2} + t - 2) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2 (t^{2} + t - 2) t - t^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (t^{2} + t - 2) t - t^{2} (2 t + 1 + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 2.6

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + t - 2) t - t^{2} (2 t + 1 + 0)}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 2.7

أضف $2 t + 1$ و $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + t - 2) t - t^{2} (2 t + 1)}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 t^{2} + 2 t + 2 \cdot - 2) t - t^{2} (2 t + 1)}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 t^{2} t + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t + 1)}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 t^{2} t + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

اضرب $t^{2}$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1.1

انقُل $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t^{2}) + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.1.2

اضرب $t$ في $t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1.2.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (t^{1} t^{2}) + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 t^{1 + 2} + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2

اضرب $t$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.2.1

انقُل $t$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 (t \cdot t) + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2.2

اضرب $t$ في $t$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.3

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 2 t^{2} t - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.5

اضرب $t^{2}$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.5.1

انقُل $t$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 2 (t \cdot t^{2}) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.5.2

اضرب $t$ في $t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.5.2.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 2 (t^{1} t^{2}) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 2 t^{1 + 2} - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.5.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 2 t^{3} - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.6

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 2 t^{3} - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 2 t^{3} - t^{2}}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 2 t^{3} - t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اطرح $2 t^{3}$ من $2 t^{3}$ .

$\frac{2 t^{2} - 4 t + 0 - t^{2}}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4.2.2

أضف $2 t^{2} - 4 t$ و $0$ .

$\frac{2 t^{2} - 4 t - t^{2}}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4.3

اطرح $t^{2}$ من $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 4 t}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 3.5

أخرِج العامل $t$ من $t^{2} - 4 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أخرِج العامل $t$ من $t^{2}$ .

$\frac{t \cdot t - 4 t}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $t$ من $- 4 t$ .

$\frac{t \cdot t + t \cdot - 4}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 3.5.3

أخرِج العامل $t$ من $t \cdot t + t \cdot - 4$ .

$\frac{t (t - 4)}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

خطوة 3.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

حلّل $t^{2} + t - 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 2$ ومجموعهما $1$ .

$- 1, 2$

خطوة 3.6.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{t (t - 4)}{{((t - 1) (t + 2))}^{2}}$

خطوة 3.6.2

طبّق قاعدة الضرب على $(t - 1) (t + 2)$ .

$\frac{t (t - 4)}{{(t - 1)}^{2} {(t + 2)}^{2}}$