حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$h (x) = (5 x^{- 2} - 10 x + 7) {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 5 x^{- 2} - 10 x + 7$ و $g (x) = {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2}$ .

$(5 x^{- 2} - 10 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4 x + 5)}^{2}] + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{3} - 4 x + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{3} - 4 x + 5$ .

$(5 x^{- 2} - 10 x + 7) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x + 5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(5 x^{- 2} - 10 x + 7) (2 u \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x + 5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3} - 4 x + 5$ .

$(5 x^{- 2} - 10 x + 7) (2 (x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x + 5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $2$ إلى يسار $5 x^{- 2} - 10 x + 7$ .

$2 \cdot (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x + 5] + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 4 x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

خطوة 3.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

خطوة 3.6

اضرب $- 4$ في $1$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

خطوة 3.7

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4 + 0) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

خطوة 3.8

أضف $3 x^{2} - 4$ و $0$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

خطوة 3.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{- 2} - 10 x + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 3.10

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 2$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (5 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 3.12

اضرب $- 2$ في $5$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 3.13

بما أن $- 10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 10 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 3.14

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 3.15

اضرب $- 10$ في $1$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10 + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 3.16

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10 + 0)$

خطوة 3.17

أضف $- 10 x^{- 3} - 10$ و $0$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10)$

خطوة 4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (5 \frac{1}{x^{2}} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10)$

خطوة 5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (5 \frac{1}{x^{2}} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(2 (5 \frac{1}{x^{2}}) + 2 (- 10 x) + 2 \cdot 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

خطوة 6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اجمع $5$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(2 \frac{5}{x^{2}} + 2 (- 10 x) + 2 \cdot 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

خطوة 6.2.2

اجمع $2$ و $\frac{5}{x^{2}}$ .

$(\frac{2 \cdot 5}{x^{2}} + 2 (- 10 x) + 2 \cdot 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

خطوة 6.2.3

اضرب $2$ في $5$ .

$(\frac{10}{x^{2}} + 2 (- 10 x) + 2 \cdot 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

خطوة 6.2.4

اضرب $- 10$ في $2$ .

$(\frac{10}{x^{2}} - 20 x + 2 \cdot 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

خطوة 6.2.5

اضرب $2$ في $7$ .

$(\frac{10}{x^{2}} - 20 x + 14) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

خطوة 6.2.6

اجمع $- 10$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(\frac{10}{x^{2}} - 20 x + 14) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (\frac{- 10}{x^{3}} - 10)$

خطوة 6.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$(\frac{10}{x^{2}} - 20 x + 14) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- \frac{10}{x^{3}} - 10)$

خطوة 6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$(3 x^{2} - 4) (x^{3} - 4 x + 5) (\frac{10}{x^{2}} - 20 x + 14) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- \frac{10}{x^{3}} - 10)$