حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$p (t) = 400 (t + \ln (24 + t^{2})) + 60000 - 400 \ln (24)$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $400 (t + \ln (24 + t^{2})) + 60000 - 400 \ln (24)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [400 (t + \ln (24 + t^{2}))] + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$ .

$\frac{d}{d t} [400 (t + \ln (24 + t^{2}))] + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [400 (t + \ln (24 + t^{2}))]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $400$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $400 (t + \ln (24 + t^{2}))$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $400 \frac{d}{d t} [t + \ln (24 + t^{2})]$ .

$400 \frac{d}{d t} [t + \ln (24 + t^{2})] + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t + \ln (24 + t^{2})$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\ln (24 + t^{2})]$ .

$400 (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\ln (24 + t^{2})]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$400 (1 + \frac{d}{d t} [\ln (24 + t^{2})]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \ln (t)$ و $g (t) = 24 + t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $24 + t^{2}$ .

$400 (1 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [24 + t^{2}]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

خطوة 2.4.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$400 (1 + \frac{1}{u} \frac{d}{d t} [24 + t^{2}]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

خطوة 2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $24 + t^{2}$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} \frac{d}{d t} [24 + t^{2}]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $24 + t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [24] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (\frac{d}{d t} [24] + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

خطوة 2.6

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $24$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

خطوة 2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (0 + 2 t)) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

خطوة 2.8

أضف $0$ و $2 t$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (2 t)) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

خطوة 2.9

اجمع $2$ و $\frac{1}{24 + t^{2}}$ .

$400 (1 + \frac{2}{24 + t^{2}} t) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

خطوة 2.10

اجمع $\frac{2}{24 + t^{2}}$ و $t$ .

$400 (1 + \frac{2 t}{24 + t^{2}}) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

خطوة 2.11

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$400 (\frac{24 + t^{2}}{24 + t^{2}} + \frac{2 t}{24 + t^{2}}) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

خطوة 2.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$400 \frac{24 + t^{2} + 2 t}{24 + t^{2}} + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

خطوة 2.13

اجمع $400$ و $\frac{24 + t^{2} + 2 t}{24 + t^{2}}$ .

$\frac{400 (24 + t^{2} + 2 t)}{24 + t^{2}} + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $60000$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $60000$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{400 (24 + t^{2} + 2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

خطوة 3.2

بما أن $- 400 \ln (24)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 400 \ln (24)$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{400 (24 + t^{2} + 2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{400 \cdot 24 + 400 t^{2} + 400 (2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

خطوة 4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $400$ في $24$ .

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 400 (2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

خطوة 4.2.2

اضرب $2$ في $400$ .

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

خطوة 4.2.3

أضف $\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}}$ و $0$ .

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}} + 0$

خطوة 4.2.4

أضف $\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}}$ و $0$ .

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}}$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{400 t^{2} + 800 t + 9600}{t^{2} + 24}$

خطوة 4.4

أخرِج العامل $400$ من $400 t^{2} + 800 t + 9600$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أخرِج العامل $400$ من $400 t^{2}$ .

$\frac{400 (t^{2}) + 800 t + 9600}{t^{2} + 24}$

خطوة 4.4.2

أخرِج العامل $400$ من $800 t$ .

$\frac{400 (t^{2}) + 400 (2 t) + 9600}{t^{2} + 24}$

خطوة 4.4.3

أخرِج العامل $400$ من $9600$ .

$\frac{400 t^{2} + 400 (2 t) + 400 \cdot 24}{t^{2} + 24}$

خطوة 4.4.4

أخرِج العامل $400$ من $400 t^{2} + 400 (2 t)$ .

$\frac{400 (t^{2} + 2 t) + 400 \cdot 24}{t^{2} + 24}$

خطوة 4.4.5

أخرِج العامل $400$ من $400 (t^{2} + 2 t) + 400 \cdot 24$ .

$\frac{400 (t^{2} + 2 t + 24)}{t^{2} + 24}$