حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$P (k) = \frac{160}{1 + 0.05 e^{2 (- k)}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{d}{d k} [\frac{160}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}]$

خطوة 1.2

بما أن $160$ عدد ثابت بالنسبة إلى $k$ ، إذن مشتق $\frac{160}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}$ بالنسبة إلى $k$ يساوي $160 \frac{d}{d k} [\frac{1}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}]$ .

$160 \frac{d}{d k} [\frac{1}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}]$

خطوة 1.3

أعِد كتابة $\frac{1}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}$ بالصيغة ${(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 1}$ .

$160 \frac{d}{d k} [{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ هو $f' (g (k)) g' (k)$ حيث $f (k) = k^{- 1}$ و $g (k) = 1 + 0.05 e^{- 2 k}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $1 + 0.05 e^{- 2 k}$ .

$160 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$160 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 + 0.05 e^{- 2 k}$ .

$160 (- {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $- 1$ في $160$ .

$- 160 ({(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 0.05 e^{- 2 k}$ بالنسبة إلى $k$ هو $\frac{d}{d k} [1] + \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}]$ .

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (\frac{d}{d k} [1] + \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}])$

خطوة 3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $k$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $k$ هو $0$ .

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}])$

خطوة 3.4

أضف $0$ و $\frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}]$ .

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}]$

خطوة 3.5

بما أن $0.05$ عدد ثابت بالنسبة إلى $k$ ، إذن مشتق $0.05 e^{- 2 k}$ بالنسبة إلى $k$ يساوي $0.05 \frac{d}{d k} [e^{- 2 k}]$ .

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (0.05 \frac{d}{d k} [e^{- 2 k}])$

خطوة 3.6

اضرب $0.05$ في $- 160$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [e^{- 2 k}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ هو $f' (g (k)) g' (k)$ حيث $f (k) = e^{k}$ و $g (k) = - 2 k$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- 2 k$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d k} [- 2 k])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d k} [- 2 k])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- 2 k$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} \frac{d}{d k} [- 2 k])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $k$ ، إذن مشتق $- 2 k$ بالنسبة إلى $k$ يساوي $- 2 \frac{d}{d k} [k]$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} (- 2 \frac{d}{d k} [k]))$

خطوة 5.2

اضرب $- 2$ في $- 8$ .

$16 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} (\frac{d}{d k} [k]))$

خطوة 5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ هو $n k^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$16 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} \cdot 1)$

خطوة 5.4

اضرب $e^{- 2 k}$ في $1$ .

$16 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} e^{- 2 k}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 \frac{1}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}} e^{- 2 k}$

خطوة 6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اجمع $16$ و $\frac{1}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}}$ .

$\frac{16}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}} e^{- 2 k}$

خطوة 6.2.2

اجمع $\frac{16}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}}$ و $e^{- 2 k}$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}}$

خطوة 6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 e^{- 2 k} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل $0.05$ من $0.05 e^{- 2 k} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1

أخرِج العامل $0.05$ من $0.05 e^{- 2 k}$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 (e^{- 2 k}) + 1)}^{2}}$

خطوة 6.4.1.2

أخرِج العامل $0.05$ من $1$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 e^{- 2 k} + 0.05 \cdot 20)}^{2}}$

خطوة 6.4.1.3

أخرِج العامل $0.05$ من $0.05 e^{- 2 k} + 0.05 \cdot 20$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 (e^{- 2 k} + 20))}^{2}}$

خطوة 6.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $0.05 (e^{- 2 k} + 20)$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{0.05}^{2} {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

خطوة 6.4.3

ارفع $0.05$ إلى القوة $2$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{0.0025 {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

خطوة 6.5

أخرِج العامل $16$ من $16 e^{- 2 k}$ .

$\frac{16 (e^{- 2 k})}{0.0025 {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

خطوة 6.6

أخرِج العامل $0.0025$ من $0.0025 {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}$ .

$\frac{16 (e^{- 2 k})}{0.0025 ({(e^{- 2 k} + 20)}^{2})}$

خطوة 6.7

افصِل الكسور.

$\frac{16}{0.0025} \cdot \frac{e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

خطوة 6.8

اقسِم $16$ على $0.0025$ .

$6400 \frac{e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

خطوة 6.9

اجمع $6400$ و $\frac{e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$ .

$\frac{6400 e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$