حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$m (x) = {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ و $g (x) = \cos (1 - x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\cos (1 - x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\cos (1 - x^{2})$ .

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

خطوة 2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

خطوة 3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

خطوة 4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

خطوة 5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

خطوة 5.2

اطرح $2$ من $3$ .

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

خطوة 6

اجمع $\frac{3}{2}$ و ${\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 1 - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $1 - x^{2}$ .

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

خطوة 7.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

خطوة 7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 - x^{2}$ .

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \sin (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

خطوة 8

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ و $\sin (1 - x^{2})$ .

$- \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

خطوة 8.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

خطوة 8.4

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 8.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 8.6

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 8.6.2

اضرب $\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2}$ في $1$ .

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 8.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} (2 x)$

خطوة 8.8

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.8.1

اجمع $2$ و $\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2}$ .

$\frac{2 (3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}))}{2} x$

خطوة 8.8.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6 ({\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}))}{2} x$

خطوة 8.8.3

اجمع $\frac{6 ({\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}))}{2}$ و $x$ .

$\frac{6 ({\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})) x}{2}$

خطوة 8.8.4

أخرِج العامل $2$ من $6 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x$ .

$\frac{2 (3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x)}{2}$

خطوة 9

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x)}{2 (1)}$

خطوة 9.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x)}{2 \cdot 1}$

خطوة 9.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x}{1}$

خطوة 9.4

اقسِم $3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x$ على $1$ .

$3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x$

خطوة 10

أعِد ترتيب عوامل $3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x$ .

$3 x {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})$