حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$q (x) = 8 (\sqrt{\frac{5 (\sin (x))}{3}}) - \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 (\sqrt{\frac{5 (\sin (x))}{3}}) - \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8 (\sqrt{\frac{5 (\sin (x))}{3}})] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 (\sqrt{\frac{5 (\sin (x))}{3}})] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 (\sqrt{\frac{5 (\sin (x))}{3}})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{\frac{5 \sin (x)}{3}}$ في صورة ${(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [8 {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

خطوة 2.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [{(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = \frac{5 \sin (x)}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\frac{5 \sin (x)}{3}$ .

$8 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{5 \sin (x)}{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{5 \sin (x)}{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

خطوة 2.4

بما أن $\frac{5}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{5 \sin (x)}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

خطوة 2.5

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

خطوة 2.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

خطوة 2.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

خطوة 2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

خطوة 2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

خطوة 2.9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{- 1}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

خطوة 2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

خطوة 2.11

اجمع $\frac{5}{3}$ و $\cos (x)$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{5 \cos (x)}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

خطوة 2.12

اضرب $\frac{5 \cos (x)}{3}$ في $\frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{5 \cos (x)}{3 \cdot 2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

خطوة 2.13

اضرب $3$ في $2$ .

$8 (\frac{5 \cos (x)}{6} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

خطوة 2.14

اجمع $\frac{5 \cos (x)}{6}$ و $8$ .

$\frac{5 \cos (x) \cdot 8}{6} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

خطوة 2.15

اضرب $8$ في $5$ .

$\frac{40 \cos (x)}{6} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

خطوة 2.16

احذِف العامل المشترك لـ $40$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.1

أخرِج العامل $2$ من $40 \cos (x)$ .

$\frac{2 (20 \cos (x))}{6} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

خطوة 2.16.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 (20 \cos (x))}{2 (3)} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

خطوة 2.16.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (20 \cos (x))}{2 \cdot 3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

خطوة 2.16.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{5 \cos (x)}$ في صورة ${(5 \cos (x))}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{{(5 \cos (x))}^{\frac{1}{3}}}{7}]$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $5$ من $5 \cos (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{{(5 (\cos (x)))}^{\frac{1}{3}}}{7}]$

خطوة 3.3

طبّق قاعدة الضرب على $5 (\cos (x))$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5^{\frac{1}{3}} {\cos (x)}^{\frac{1}{3}}}{7}]$

خطوة 3.4

بما أن $- \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{5^{\frac{1}{3}} {\cos (x)}^{\frac{1}{3}}}{7}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\cos (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 3.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\cos (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 3.6

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} - 1} (- \sin (x)))$

خطوة 3.7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- \sin (x)))$

خطوة 3.8

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- \sin (x)))$

خطوة 3.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (- \sin (x)))$

خطوة 3.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1 - 3}{3}} (- \sin (x)))$

خطوة 3.10.2

اطرح $3$ من $1$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{- 2}{3}} (- \sin (x)))$

خطوة 3.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{- \frac{2}{3}} (- \sin (x)))$

خطوة 3.12

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{{\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- \sin (x)))$

خطوة 3.13

اجمع $\frac{{\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ و $\sin (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (- \frac{{\cos (x)}^{- \frac{2}{3}} \sin (x)}{3})$

خطوة 3.14

انقُل ${\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (- \frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}})$

خطوة 3.15

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + 1 \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} \frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16

اضرب $\frac{5^{\frac{1}{3}}}{7}$ في $1$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} \cdot \frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.17

اضرب $\frac{5^{\frac{1}{3}}}{7}$ في $\frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{7 (3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}})}$

خطوة 3.18

اضرب $3$ في $7$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4

غيّر علامة الأُس بإعادة كتابة الأساس في صورة مقلوبه.

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{3}{5 \sin (x)})}^{\frac{1}{2}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{5 \sin (x)}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(5 \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5.2

طبّق قاعدة الضرب على $5 \sin (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب $\frac{20 \cos (x)}{3}$ في $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{20 \cos (x) \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3 (5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5.3.2

انقُل $3^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3 \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{- \frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5.3.3

اضرب $3$ في $3^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

انقُل $3^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3^{- \frac{1}{2}} \cdot 3 \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5.3.3.2

اضرب $3^{- \frac{1}{2}}$ في $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

ارفع $3$ إلى القوة $1$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{1} \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5.3.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{20 \cos (x)}{3^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5.3.3.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{20 \cos (x)}{3^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5.3.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{20 \cos (x)}{3^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5.3.3.5

أضف $- 1$ و $2$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$