حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$q (t) = \frac{5 t}{t^{2} - 5 t - 3}$

خطوة 1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{5 t}{t^{2} - 5 t - 3}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $5 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} - 5 t - 3}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} - 5 t - 3}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = t$ و $g (t) = t^{2} - 5 t - 3$ .

$5 \frac{(t^{2} - 5 t - 3) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} - 5 t - 3]}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \frac{(t^{2} - 5 t - 3) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} - 5 t - 3]}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2

اضرب $t^{2} - 5 t - 3$ في $1$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t \frac{d}{d t} [t^{2} - 5 t - 3]}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{2} - 5 t - 3$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5 t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5 t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t + \frac{d}{d t} [- 5 t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 3.5

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- 5 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- 5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 3.7

اضرب $- 5$ في $1$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 3.8

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5 + 0)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 3.9

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

أضف $2 t - 5$ و $0$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 3.9.2

اجمع $5$ و $\frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$ .

$\frac{5 (t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5))}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{5 (t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t) - t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{5 t^{2} + 5 (- 5 t) + 5 \cdot - 3 + 5 (- t (2 t)) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

اضرب $- 5$ في $5$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t + 5 \cdot - 3 + 5 (- t (2 t)) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 4.3.1.2

اضرب $5$ في $- 3$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 + 5 (- t (2 t)) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 4.3.1.3

اضرب $t$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.3.1

انقُل $t$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 + 5 (- (t \cdot t) \cdot 2) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 4.3.1.3.2

اضرب $t$ في $t$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 + 5 (- t^{2} \cdot 2) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 4.3.1.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 + 5 (- 2 t^{2}) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 4.3.1.5

اضرب $- 2$ في $5$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 - 10 t^{2} + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 4.3.1.6

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 - 10 t^{2} + 5 (5 t)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 4.3.1.7

اضرب $5$ في $5$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 - 10 t^{2} + 25 t}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 4.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $5 t^{2} - 25 t - 15 - 10 t^{2} + 25 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أضف $- 25 t$ و $25 t$ .

$\frac{5 t^{2} - 15 - 10 t^{2} + 0}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 4.3.2.2

أضف $5 t^{2} - 15 - 10 t^{2}$ و $0$ .

$\frac{5 t^{2} - 15 - 10 t^{2}}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 4.3.3

اطرح $10 t^{2}$ من $5 t^{2}$ .

$\frac{- 5 t^{2} - 15}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 4.4

أخرِج العامل $5$ من $- 5 t^{2} - 15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أخرِج العامل $5$ من $- 5 t^{2}$ .

$\frac{5 (- t^{2}) - 15}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 4.4.2

أخرِج العامل $5$ من $- 15$ .

$\frac{5 (- t^{2}) + 5 (- 3)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 4.4.3

أخرِج العامل $5$ من $5 (- t^{2}) + 5 (- 3)$ .

$\frac{5 (- t^{2} - 3)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 4.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- t^{2}$ .

$\frac{5 (- (t^{2}) - 3)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 4.6

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$\frac{5 (- (t^{2}) - 1 (3))}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 4.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (t^{2}) - 1 (3)$ .

$\frac{5 (- (t^{2} + 3))}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 4.8

أعِد كتابة $- (t^{2} + 3)$ بالصيغة $- 1 (t^{2} + 3)$ .

$\frac{5 (- 1 (t^{2} + 3))}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

خطوة 4.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5 (t^{2} + 3)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$