حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$r (t) = t^{2} \cdot i + (1 - t) \cdot j + (\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{2} \cdot i + (1 - t) \cdot j + (\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $i$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $t^{2} i$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $i \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$i \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$i (2 t) + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

خطوة 2.3

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$2 i t + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $j$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $(1 - t) j$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $j \frac{d}{d t} [1 - t]$ .

$2 i t + j \frac{d}{d t} [1 - t] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$2 i t + j (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

خطوة 3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$2 i t + j (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

خطوة 3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 i t + j (0 - \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 i t + j (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

خطوة 3.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 i t + j (0 - 1) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

خطوة 3.7

اطرح $1$ من $0$ .

$2 i t + j \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

خطوة 3.8

انقُل $- 1$ إلى يسار $j$ .

$2 i t - 1 \cdot j + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

خطوة 3.9

أعِد كتابة $- 1 j$ بالصيغة $- j$ .

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $t^{3}$ .

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [\frac{2 t^{3}}{3} \cdot k]$

خطوة 4.2

اجمع $\frac{2 t^{3}}{3}$ و $k$ .

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [\frac{2 t^{3} k}{3}]$

خطوة 4.3

بما أن $\frac{2 k}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{2 t^{3} k}{3}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{2 k}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$2 i t - j + \frac{2 k}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 i t - j + \frac{2 k}{3} (3 t^{2})$

خطوة 4.5

اجمع $3$ و $\frac{2 k}{3}$ .

$2 i t - j + \frac{3 (2 k)}{3} t^{2}$

خطوة 4.6

اضرب $2$ في $3$ .

$2 i t - j + \frac{6 k}{3} t^{2}$

خطوة 4.7

اجمع $\frac{6 k}{3}$ و $t^{2}$ .

$2 i t - j + \frac{6 k t^{2}}{3}$

خطوة 4.8

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

أخرِج العامل $3$ من $6 k t^{2}$ .

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3}$

خطوة 4.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3 (1)}$

خطوة 4.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3 \cdot 1}$

خطوة 4.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 i t - j + \frac{2 k t^{2}}{1}$

خطوة 4.8.2.4

اقسِم $2 k t^{2}$ على $1$ .

$2 i t - j + 2 k t^{2}$

خطوة 5

أعِد ترتيب الحدود.

$2 i t + 2 t^{2} k - j$