حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$r (t) = e^{5 t} i + e^{5 t} \cos (t) j + e^{5 t} \sin (t) k$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{5 t} i + e^{5 t} \cos (t) j + e^{5 t} \sin (t) k$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [e^{5 t} i] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$ .

$\frac{d}{d t} [e^{5 t} i] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [e^{5 t} i]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $i$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $e^{5 t} i$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $i \frac{d}{d t} [e^{5 t}]$ .

$i \frac{d}{d t} [e^{5 t}] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = 5 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $5 t$ .

$i (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [5 t]) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$i (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [5 t]) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $5 t$ .

$i (e^{5 t} \frac{d}{d t} [5 t]) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

خطوة 2.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $5 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$i (e^{5 t} (5 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$i (e^{5 t} (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

خطوة 2.5

اضرب $5$ في $1$ .

$i (e^{5 t} \cdot 5) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

خطوة 2.6

انقُل $5$ إلى يسار $e^{5 t}$ .

$i (5 \cdot e^{5 t}) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

خطوة 2.7

انقُل $5$ إلى يسار $i$ .

$5 i e^{5 t} + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $j$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $e^{5 t} \cos (t) j$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $j \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t)]$ .

$5 i e^{5 t} + j \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t)] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = e^{5 t}$ و $g (t) = \cos (t)$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} \frac{d}{d t} [\cos (t)] + \cos (t) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

خطوة 3.3

مشتق $\cos (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \sin (t)$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = 5 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $5 t$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [5 t])) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [5 t])) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $5 t$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (e^{5 t} \frac{d}{d t} [5 t])) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

خطوة 3.5

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $5 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (e^{5 t} (5 \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (e^{5 t} (5 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

خطوة 3.7

اضرب $5$ في $1$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (e^{5 t} \cdot 5)) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

خطوة 3.8

انقُل $5$ إلى يسار $e^{5 t}$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $k$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $e^{5 t} \sin (t) k$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $k \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t)]$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t)]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = e^{5 t}$ و $g (t) = \sin (t)$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \sin (t) \frac{d}{d t} [e^{5 t}])$

خطوة 4.3

مشتق $\sin (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\cos (t)$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [e^{5 t}])$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = 5 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $5 t$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [5 t]))$

خطوة 4.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ هو $a^{u_{3}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [5 t]))$

خطوة 4.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $5 t$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (e^{5 t} \frac{d}{d t} [5 t]))$

خطوة 4.5

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $5 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (e^{5 t} (5 \frac{d}{d t} [t])))$

خطوة 4.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (e^{5 t} (5 \cdot 1)))$

خطوة 4.7

اضرب $5$ في $1$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (e^{5 t} \cdot 5))$

خطوة 4.8

انقُل $5$ إلى يسار $e^{5 t}$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (5 e^{5 t}))$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t))) + j (\cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (5 e^{5 t}))$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t))) + j (\cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t)) + k (\sin (t) (5 e^{5 t}))$

خطوة 5.3

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$5 i e^{5 t} + j e^{5 t} (- \sin (t)) + j \cos (t) (5 e^{5 t}) + k e^{5 t} \cos (t) + k \sin (t) (5 e^{5 t})$

خطوة 5.4

أعِد ترتيب الحدود.

$5 i e^{5 t} - e^{5 t} j \sin (t) + 5 e^{5 t} j \cos (t) + e^{5 t} k \cos (t) + 5 e^{5 t} k \sin (t)$

خطوة 5.5

أعِد ترتيب العوامل في $5 i e^{5 t} - e^{5 t} j \sin (t) + 5 e^{5 t} j \cos (t) + e^{5 t} k \cos (t) + 5 e^{5 t} k \sin (t)$ .

$5 i e^{5 t} - j e^{5 t} \sin (t) + 5 j e^{5 t} \cos (t) + k e^{5 t} \cos (t) + 5 k e^{5 t} \sin (t)$