حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$r (t) = \frac{1}{t} \cdot i + \ln (t) j + e^{2 t} k$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{t} \cdot i + \ln (t) j + e^{2 t} k$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t} \cdot i] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t} \cdot i] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t} \cdot i]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{t}$ و $i$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{i}{t}] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

خطوة 2.2

بما أن $i$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{i}{t}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $i \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

$i \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{1}{t}$ بالصيغة $t^{- 1}$ .

$i \frac{d}{d t} [t^{- 1}] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [\ln (t) j]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $j$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\ln (t) j$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $j \frac{d}{d t} [\ln (t)]$ .

$i (- t^{- 2}) + j \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

خطوة 3.2

مشتق $\ln (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{1}{t}$ .

$i (- t^{- 2}) + j \frac{1}{t} + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

خطوة 3.3

اجمع $j$ و $\frac{1}{t}$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $k$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $e^{2 t} k$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $k \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = 2 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 t$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [2 t])$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{u} \frac{d}{d t} [2 t])$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t])$

خطوة 4.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]))$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{2 t} (2 \cdot 1))$

خطوة 4.5

اضرب $2$ في $1$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{2 t} \cdot 2)$

خطوة 4.6

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 t}$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (2 \cdot e^{2 t})$

خطوة 4.7

انقُل $2$ إلى يسار $k$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + 2 k e^{2 t}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$i (- \frac{1}{t^{2}}) + \frac{j}{t} + 2 k e^{2 t}$

خطوة 5.2

اجمع $i$ و $\frac{1}{t^{2}}$ .

$- \frac{i}{t^{2}} + \frac{j}{t} + 2 k e^{2 t}$

خطوة 5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$2 e^{2 t} k - \frac{i}{t^{2}} + \frac{j}{t}$

خطوة 5.4

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{2 t} k - \frac{i}{t^{2}} + \frac{j}{t}$ .

$2 k e^{2 t} - \frac{i}{t^{2}} + \frac{j}{t}$