حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$G (y) = {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{3}$ و $g (y) = \frac{y^{2}}{2 y - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{y^{2}}{2 y - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2 y - 1}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2 y - 1}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{y^{2}}{2 y - 1}$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2 y - 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ هو $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ حيث $f (y) = y^{2}$ و $g (y) = 2 y - 1$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{(2 y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2}] - y^{2} \frac{d}{d y} [2 y - 1]}{{(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{(2 y - 1) (2 y) - y^{2} \frac{d}{d y} [2 y - 1]}{{(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2

انقُل $2$ إلى يسار $2 y - 1$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 \cdot (2 y - 1) y - y^{2} \frac{d}{d y} [2 y - 1]}{{(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 y - 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 3.6

اضرب $2$ في $1$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (2 + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 3.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (2 + 0)}{{(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 3.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

أضف $2$ و $0$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} \cdot 2}{{(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 3.8.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - 2 y^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 3.8.3

اجمع $\frac{2 (2 y - 1) y - 2 y^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$ و $3$ .

$\frac{(2 (2 y - 1) y - 2 y^{2}) \cdot 3}{{(2 y - 1)}^{2}} {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2}$

خطوة 3.8.4

انقُل $3$ إلى يسار $2 (2 y - 1) y - 2 y^{2}$ .

$\frac{3 \cdot (2 (2 y - 1) y - 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{y^{2}}{2 y - 1}$ .

$\frac{3 (2 (2 y - 1) y - 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 ((2 (2 y) + 2 \cdot - 1) y - 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 (2 (2 y) y + 2 \cdot - 1 y - 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 4.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 (2 (2 y) y) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{3 (4 y \cdot y) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.2

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 (4 (y^{1} y)) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.3

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 (4 (y^{1} y^{1})) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 (4 y^{1 + 1}) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{3 (4 y^{2}) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.6

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{12 y^{2} + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{12 y^{2} + 3 (- 2 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.8

اضرب $- 2$ في $3$ .

$\frac{12 y^{2} - 6 y + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.9

اضرب $- 2$ في $3$ .

$\frac{12 y^{2} - 6 y - 6 y^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.10

اطرح $6 y^{2}$ من $12 y^{2}$ .

$\frac{6 y^{2} - 6 y}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.11

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.11.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 y^{2} - 6 y}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{y^{2 \cdot 2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.11.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{6 y^{2} - 6 y}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{y^{4}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.12

اضرب $\frac{6 y^{2} - 6 y}{{(2 y - 1)}^{2}}$ في $\frac{y^{4}}{{(2 y - 1)}^{2}}$ .

$\frac{(6 y^{2} - 6 y) y^{4}}{{(2 y - 1)}^{2} {(2 y - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.13

اضرب ${(2 y - 1)}^{2}$ في ${(2 y - 1)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.13.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{(6 y^{2} - 6 y) y^{4}}{{(2 y - 1)}^{2 + 2}}$

خطوة 4.5.13.2

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{(6 y^{2} - 6 y) y^{4}}{{(2 y - 1)}^{4}}$

خطوة 4.6

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{y^{4} (6 y^{2} - 6 y)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

خطوة 4.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

أخرِج العامل $6 y$ من $6 y^{2} - 6 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1.1

أخرِج العامل $6 y$ من $6 y^{2}$ .

$\frac{y^{4} (6 y (y) - 6 y)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

خطوة 4.7.1.2

أخرِج العامل $6 y$ من $- 6 y$ .

$\frac{y^{4} (6 y (y) + 6 y (- 1))}{{(2 y - 1)}^{4}}$

خطوة 4.7.1.3

أخرِج العامل $6 y$ من $6 y (y) + 6 y (- 1)$ .

$\frac{y^{4} (6 y (y - 1))}{{(2 y - 1)}^{4}}$

$\frac{y^{4} \cdot 6 y (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

خطوة 4.7.2

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{6 (y^{4} y^{1}) (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

خطوة 4.7.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{6 y^{4 + 1} (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

خطوة 4.7.2.3

أضف $4$ و $1$ .

$\frac{6 y^{5} (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{4}}$