حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (x) = \cot^{2} (2 \sqrt{x}) + \sqrt{\tan (x) - 1}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\cot^{2} (2 \sqrt{x}) + \sqrt{\tan (x) - 1}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\cot^{2} (2 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cot^{2} (2 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\cot^{2} (2 \sqrt{x})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\cot^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cot (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\cot (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (2 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (2 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\cot (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\cot (2 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cot (x)$ و $g (x) = 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 2.3.2

مشتق $\cot (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 2.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 2.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 2.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 2.9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 2.11

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 2.12

اجمع $2$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 2.13

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 2.14

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 2.15

أعِد كتابة العبارة.

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 2.16

اجمع $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ و $\csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{\csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 2.17

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{\csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 2.18

اجمع $\frac{\csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$ و $- 2$ .

$\frac{\csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2}{x^{\frac{1}{2}}} \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 2.19

اجمع $\frac{\csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ و $\cot (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{\csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 2.20

انقُل $- 2$ إلى يسار $\csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{- 2 \cdot \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 2.21

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{\tan (x) - 1}$ في صورة ${(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [{(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = \tan (x) - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $\tan (x) - 1$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ هو $n {u_{3}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $\tan (x) - 1$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\tan (x) - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 3.4

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\sec^{2} (x) + 0)$

خطوة 3.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (\sec^{2} (x) + 0)$

خطوة 3.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (\sec^{2} (x) + 0)$

خطوة 3.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (\sec^{2} (x) + 0)$

خطوة 3.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (\sec^{2} (x) + 0)$

خطوة 3.9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{- 1}{2}} (\sec^{2} (x) + 0)$

خطوة 3.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{- \frac{1}{2}} (\sec^{2} (x) + 0)$

خطوة 3.11

أضف $\sec^{2} (x)$ و $0$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{- \frac{1}{2}} \sec^{2} (x)$

خطوة 3.12

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(\tan (x) - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(\tan (x) - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \sec^{2} (x)$

خطوة 3.13

اجمع $\frac{{(\tan (x) - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $\sec^{2} (x)$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(\tan (x) - 1)}^{- \frac{1}{2}} \sec^{2} (x)}{2}$

خطوة 3.14

انقُل ${(\tan (x) - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sec^{2} (x)}{2 {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\sec^{2} (x)}{2 {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$