حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (x) = {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{3} (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = {(x^{2} + x + 1)}^{10}$ و $g (x) = \tan^{3} (x)$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{10} \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)] + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{10}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = \tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\tan (x)$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{10} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{10}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{10} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{10}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\tan (x)$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{10} (3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{10}]$

خطوة 3

انقُل $3$ إلى يسار ${(x^{2} + x + 1)}^{10}$ .

$3 \cdot {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{10}]$

خطوة 4

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{10}]$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{10}$ و $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{2} + x + 1$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{10}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1])$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 10$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {u_{2}}^{9} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1])$

خطوة 5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{2} + x + 1$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {(x^{2} + x + 1)}^{9} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1])$

خطوة 6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {(x^{2} + x + 1)}^{9} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {(x^{2} + x + 1)}^{9} (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 6.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {(x^{2} + x + 1)}^{9} (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 6.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {(x^{2} + x + 1)}^{9} (2 x + 1 + 0))$

خطوة 6.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

أضف $2 x + 1$ و $0$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {(x^{2} + x + 1)}^{9} (2 x + 1))$

خطوة 6.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) {(x^{2} + x + 1)}^{10} + 10 \tan^{3} (x) {(x^{2} + x + 1)}^{9} (2 x + 1)$