حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (x) = (x^{2} + 1) \arctan (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2} + 1$ و $g (x) = \arctan (x)$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 2

مشتق $\arctan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x + 0)$

خطوة 3.4

أضف $2 x$ و $0$ .

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + 2 x \arctan (x)$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $x^{2} + 1$ في $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 + x^{2}} + 2 x \arctan (x)$

خطوة 4.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2} + 1$ و $1 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} + 2 x \arctan (x)$

خطوة 4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} + 2 x \arctan (x)$

خطوة 4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$1 + 2 x \arctan (x)$