حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (t) = (\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}) - 1$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}) - 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = 1 + \sin (3 t)$ و $g (t) = 3 - 2 t$ .

$\frac{(3 - 2 t) \frac{d}{d t} [1 + \sin (3 t)] - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \sin (3 t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]$ .

$\frac{(3 - 2 t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \sin (t)$ و $g (t) = 3 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 t$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.4.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (u) \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 t$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t])) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \cdot 1)) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 - 2 t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- 2 t]$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \cdot 1)) - (1 + \sin (3 t)) (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- 2 t])}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.8

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \cdot 1)) - (1 + \sin (3 t)) (0 + \frac{d}{d t} [- 2 t])}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.9

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- 2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \cdot 1)) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \frac{d}{d t} [t])}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \cdot 1)) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \cdot 1)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.11

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) \cdot 3) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \cdot 1)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.12

انقُل $3$ إلى يسار $\cos (3 t)$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + 3 \cdot \cos (3 t)) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \cdot 1)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.13

أضف $0$ و $3 \cos (3 t)$ .

$\frac{(3 - 2 t) (3 \cos (3 t)) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \cdot 1)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.14

انقُل $3$ إلى يسار $3 - 2 t$ .

$\frac{3 \cdot (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \cdot 1)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.15

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.16

اطرح $2$ من $0$ .

$\frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) \cdot - 2}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.17

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(3 \cdot 3 + 3 (- 2 t)) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

خطوة 4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

خطوة 4.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{9 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

خطوة 4.4.2

اضرب $- 2$ في $3$ .

$\frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

خطوة 4.4.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

خطوة 4.4.4

أضف $\frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$ و $0$ .

$\frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

خطوة 4.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 6 t \cos (3 t) + 2 + 9 \cos (3 t) + 2 \sin (3 t)}{{(- 2 t + 3)}^{2}}$