حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (r) = \frac{7 r - 3}{e^{r} + 9}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ هو $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ حيث $f (r) = 7 r - 3$ و $g (r) = e^{r} + 9$ .

$\frac{(e^{r} + 9) \frac{d}{d r} [7 r - 3] - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 r - 3$ بالنسبة إلى $r$ هو $\frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [- 3]$ .

$\frac{(e^{r} + 9) (\frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [- 3]) - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $7 r$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $7 \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{(e^{r} + 9) (7 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 3]) - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(e^{r} + 9) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- 3]) - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.4

اضرب $7$ في $1$ .

$\frac{(e^{r} + 9) (7 + \frac{d}{d r} [- 3]) - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.5

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $r$ هو $0$ .

$\frac{(e^{r} + 9) (7 + 0) - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أضف $7$ و $0$ .

$\frac{(e^{r} + 9) \cdot 7 - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.6.2

انقُل $7$ إلى يسار $e^{r} + 9$ .

$\frac{7 \cdot (e^{r} + 9) - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{r} + 9$ بالنسبة إلى $r$ هو $\frac{d}{d r} [e^{r}] + \frac{d}{d r} [9]$ .

$\frac{7 (e^{r} + 9) - (7 r - 3) (\frac{d}{d r} [e^{r}] + \frac{d}{d r} [9])}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [a^{r}]$ هو $a^{r} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{7 (e^{r} + 9) - (7 r - 3) (e^{r} + \frac{d}{d r} [9])}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $r$ هو $0$ .

$\frac{7 (e^{r} + 9) - (7 r - 3) (e^{r} + 0)}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 4.2

أضف $e^{r}$ و $0$ .

$\frac{7 (e^{r} + 9) - (7 r - 3) e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{7 e^{r} + 7 \cdot 9 - (7 r - 3) e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{7 e^{r} + 7 \cdot 9 + (- (7 r) - - 3) e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{7 e^{r} + 7 \cdot 9 - (7 r) e^{r} - - 3 e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

اضرب $7$ في $9$ .

$\frac{7 e^{r} + 63 - (7 r) e^{r} - - 3 e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 5.4.1.2

اضرب $7$ في $- 1$ .

$\frac{7 e^{r} + 63 - 7 r e^{r} - - 3 e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 5.4.1.3

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$\frac{7 e^{r} + 63 - 7 r e^{r} + 3 e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 5.4.2

أضف $7 e^{r}$ و $3 e^{r}$ .

$\frac{10 e^{r} + 63 - 7 r e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 5.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 7 e^{r} r + 10 e^{r} + 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 5.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 7 e^{r} r$ .

$\frac{- (7 e^{r} r) + 10 e^{r} + 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 5.7

أخرِج العامل $- 1$ من $10 e^{r}$ .

$\frac{- (7 e^{r} r) - (- 10 e^{r}) + 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 5.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (7 e^{r} r) - (- 10 e^{r})$ .

$\frac{- (7 e^{r} r - 10 e^{r}) + 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 5.9

أعِد كتابة $63$ بالصيغة $- 1 (- 63)$ .

$\frac{- (7 e^{r} r - 10 e^{r}) - 1 (- 63)}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 5.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- (7 e^{r} r - 10 e^{r}) - 1 (- 63)$ .

$\frac{- (7 e^{r} r - 10 e^{r} - 63)}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 5.11

أعِد كتابة $- (7 e^{r} r - 10 e^{r} - 63)$ بالصيغة $- 1 (7 e^{r} r - 10 e^{r} - 63)$ .

$\frac{- 1 (7 e^{r} r - 10 e^{r} - 63)}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 5.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{7 e^{r} r - 10 e^{r} - 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

خطوة 5.13

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{7 e^{r} r - 10 e^{r} - 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$ .

$- \frac{7 r e^{r} - 10 e^{r} - 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$