حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (- 5 x^{2} + 12 x - 3)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = - 5 x^{2} + 12 x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- 5 x^{2} + 12 x - 3$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 12 x - 3]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 12 x - 3]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 5 x^{2} + 12 x - 3$ .

$\frac{1}{- 5 x^{2} + 12 x - 3} \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 12 x - 3]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 5 x^{2} + 12 x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{- 5 x^{2} + 12 x - 3} (\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 2.2

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- 5 x^{2} + 12 x - 3} (- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{- 5 x^{2} + 12 x - 3} (- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 2.4

اضرب $2$ في $- 5$ .

$\frac{1}{- 5 x^{2} + 12 x - 3} (- 10 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 2.5

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 5 x^{2} + 12 x - 3} (- 10 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{- 5 x^{2} + 12 x - 3} (- 10 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 2.7

اضرب $12$ في $1$ .

$\frac{1}{- 5 x^{2} + 12 x - 3} (- 10 x + 12 + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 2.8

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{- 5 x^{2} + 12 x - 3} (- 10 x + 12 + 0)$

خطوة 2.9

أضف $- 10 x + 12$ و $0$ .

$\frac{1}{- 5 x^{2} + 12 x - 3} (- 10 x + 12)$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{- 5 x^{2} + 12 x - 3} (- 10 x + 12)$ .

$(- 10 x + 12) \frac{1}{- 5 x^{2} + 12 x - 3}$

خطوة 3.2

اضرب $- 10 x + 12$ في $\frac{1}{- 5 x^{2} + 12 x - 3}$ .

$\frac{- 10 x + 12}{- 5 x^{2} + 12 x - 3}$

خطوة 3.3

أخرِج العامل $2$ من $- 10 x + 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 10 x$ .

$\frac{2 (- 5 x) + 12}{- 5 x^{2} + 12 x - 3}$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$\frac{2 (- 5 x) + 2 (6)}{- 5 x^{2} + 12 x - 3}$

خطوة 3.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- 5 x) + 2 (6)$ .

$\frac{2 (- 5 x + 6)}{- 5 x^{2} + 12 x - 3}$

خطوة 3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 5 x$ .

$\frac{2 (- (5 x) + 6)}{- 5 x^{2} + 12 x - 3}$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $6$ بالصيغة $- 1 (- 6)$ .

$\frac{2 (- (5 x) - 1 (- 6))}{- 5 x^{2} + 12 x - 3}$

خطوة 3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (5 x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{2 (- (5 x - 6))}{- 5 x^{2} + 12 x - 3}$

خطوة 3.7

أعِد كتابة $- (5 x - 6)$ بالصيغة $- 1 (5 x - 6)$ .

$\frac{2 (- 1 (5 x - 6))}{- 5 x^{2} + 12 x - 3}$

خطوة 3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- 5 x^{2}$ .

$\frac{2 (- 1 (5 x - 6))}{- (5 x^{2}) + 12 x - 3}$

خطوة 3.9

أخرِج العامل $- 1$ من $12 x$ .

$\frac{2 (- 1 (5 x - 6))}{- (5 x^{2}) - (- 12 x) - 3}$

خطوة 3.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- (5 x^{2}) - (- 12 x)$ .

$\frac{2 (- 1 (5 x - 6))}{- (5 x^{2} - 12 x) - 3}$

خطوة 3.11

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$\frac{2 (- 1 (5 x - 6))}{- (5 x^{2} - 12 x) - 1 (3)}$

خطوة 3.12

أخرِج العامل $- 1$ من $- (5 x^{2} - 12 x) - 1 (3)$ .

$\frac{2 (- 1 (5 x - 6))}{- (5 x^{2} - 12 x + 3)}$

خطوة 3.13

أعِد كتابة $- (5 x^{2} - 12 x + 3)$ بالصيغة $- 1 (5 x^{2} - 12 x + 3)$ .

$\frac{2 (- 1 (5 x - 6))}{- 1 (5 x^{2} - 12 x + 3)}$

خطوة 3.14

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 1 (5 x - 6))}{- 1 (5 x^{2} - 12 x + 3)}$

خطوة 3.15

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 (5 x - 6)}{5 x^{2} - 12 x + 3}$