حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (\cos (\sqrt[3]{x + 2}))$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x + 2}$ في صورة ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}))]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})]$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{1}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})]$

خطوة 3

حوّل من $\frac{1}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}$ إلى $\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{3}}])$

خطوة 4.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{3}}])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{3}}])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ و $g (x) = x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $x + 2$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 2]))$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ هو $n {u_{3}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

خطوة 5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $x + 2$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

خطوة 6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

خطوة 7

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

خطوة 8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

خطوة 9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

خطوة 9.2

اطرح $3$ من $1$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

خطوة 10

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

خطوة 10.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${(x + 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

خطوة 10.3

انقُل ${(x + 2)}^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

خطوة 10.4

اجمع $\frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$ و $\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

خطوة 10.5

اجمع $\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ و $\frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 13

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

خطوة 14

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أضف $1$ و $0$ .

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

خطوة 14.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أعِد كتابة $\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$- \frac{\frac{1}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})} \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15.2

اجمع $\frac{1}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}$ و $\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$- \frac{\frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- (\frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}})$

خطوة 15.4

اجمع.

$- \frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 1}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}})}$

خطوة 15.5

اضرب $\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ في $1$ .

$- \frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}})}$

خطوة 15.6

انقُل $3$ إلى يسار $\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$- \frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 \cdot \cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15.7

افصِل الكسور.

$- (\frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})})$

خطوة 15.8

حوّل من $\frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}$ إلى $\tan ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$- (\frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \tan ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}))$

خطوة 15.9

اجمع $\frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$ و $\tan ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$- \frac{\tan ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$