حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (\cos (\sqrt[3]{x}))$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x^{\frac{1}{3}}))]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \cos (x^{\frac{1}{3}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\cos (x^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{3}})]$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{3}})]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\cos (x^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{3}})]$

خطوة 3

حوّل من $\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{3}})}$ إلى $\sec (x^{\frac{1}{3}})$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{3}})]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

خطوة 4.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

خطوة 6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

خطوة 7

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

خطوة 8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

خطوة 9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

خطوة 9.2

اطرح $3$ من $1$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

خطوة 10

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

خطوة 11

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

خطوة 12

اجمع $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ و $\sin (x^{\frac{1}{3}})$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} \sin (x^{\frac{1}{3}})}{3})$

خطوة 13

انقُل $x^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \frac{\sin (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

خطوة 14

اجمع $\sec (x^{\frac{1}{3}})$ و $\frac{\sin (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{\sec (x^{\frac{1}{3}}) \sin (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أعِد كتابة $\sec (x^{\frac{1}{3}})$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$- \frac{\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{3}})} \sin (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15.2

اجمع $\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{3}})}$ و $\sin (x^{\frac{1}{3}})$ .

$- \frac{\frac{\sin (x^{\frac{1}{3}})}{\cos (x^{\frac{1}{3}})}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15.3

حوّل من $\frac{\sin (x^{\frac{1}{3}})}{\cos (x^{\frac{1}{3}})}$ إلى $\tan (x^{\frac{1}{3}})$ .

$- \frac{\tan (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$