حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (\ln (\sec (2 x)))$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \ln (\sec (2 x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\ln (\sec (2 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\ln (\sec (2 x))$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \sec (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\sec (2 x)$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sec (2 x)$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{1}{\sec (2 x)} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

خطوة 3

أعِد كتابة $\sec (2 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{1}{\frac{1}{\cos (2 x)}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

خطوة 4

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (1 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

خطوة 5

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $\cos (2 x)$ في $1$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

خطوة 5.2

اجمع $\cos (2 x)$ و $\frac{1}{\ln (\sec (2 x))}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sec (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 6.2

مشتق $\sec (u_{3})$ بالنسبة إلى $u_{3}$ يساوي $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $2 x$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 7

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\sec (2 x)$ و $\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ .

$\frac{\sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 7.2

اجمع $\tan (2 x)$ و $\frac{\sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ .

$\frac{\tan (2 x) (\sec (2 x) \cos (2 x))}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 7.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 7.4

اجمع $2$ و $\frac{\tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ .

$\frac{2 (\tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x))}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} \cdot 1$

خطوة 7.6

اضرب $\frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ في $1$ .

$\frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

خطوة 8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة $\tan (2 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{2 \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

خطوة 8.2

اجمع $2$ و $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

خطوة 8.3

أعِد كتابة $\sec (2 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

خطوة 8.4

اضرب $\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

اضرب $\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ في $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

خطوة 8.4.2

ارفع $\cos (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

خطوة 8.4.3

ارفع $\cos (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

خطوة 8.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{1 + 1}} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

خطوة 8.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

خطوة 8.5

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

أخرِج العامل $\cos (2 x)$ من $\cos^{2} (2 x)$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

خطوة 8.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

خطوة 8.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\ln (\sec (2 x))}$

خطوة 8.6

افصِل الكسور.

$\frac{\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\ln (\sec (2 x))}$

خطوة 8.7

حوّل من $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ إلى $\tan (2 x)$ .

$\frac{\frac{2}{1} \tan (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

خطوة 8.8

اقسِم $2$ على $1$ .

$\frac{2 \tan (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$