حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (e^{x^{3}}) + 6 \ln (x - 1)$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\ln (e^{x^{3}}) + 6 \ln (x - 1)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\ln (e^{x^{3}})] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{x^{3}})] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\ln (e^{x^{3}})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $x^{3}$ خارج الأُس.

$\frac{d}{d x} [x^{3} \ln (e)] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

خطوة 2.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} \cdot 1] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

خطوة 2.3

اضرب $x^{3}$ في $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 \ln (x - 1)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]$ .

$3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 1$ .

$3 x^{2} + 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1])$

خطوة 3.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

خطوة 3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} (1 + 0))$

خطوة 3.6

أضف $1$ و $0$ .

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} \cdot 1)$

خطوة 3.7

اضرب $\frac{1}{x - 1}$ في $1$ .

$3 x^{2} + 6 \frac{1}{x - 1}$

خطوة 3.8

اجمع $6$ و $\frac{1}{x - 1}$ .

$3 x^{2} + \frac{6}{x - 1}$

خطوة 4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لكتابة $3 x^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x^{2} (x - 1)}{x - 1} + \frac{6}{x - 1}$

خطوة 4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3 x^{2} (x - 1) + 6}{x - 1}$