حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (\frac{x}{x^{2} - 1})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \frac{x}{x^{2} - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{x}{x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$

خطوة 2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{x}{x^{2} - 1}$ .

$1 \frac{x^{2} - 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$

خطوة 3

اضرب $\frac{x^{2} - 1}{x}$ في $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} - 1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 5.2

اضرب $x^{2} - 1$ في $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 5.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 5.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 5.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 5.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 9

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 10

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 11

اضرب $\frac{x^{2} - 1}{x}$ في $\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- x^{2} - 1)}{x {(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 12

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أخرِج العامل $x^{2} - 1$ من $x {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- x^{2} - 1)}{(x^{2} - 1) (x (x^{2} - 1))}$

خطوة 12.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x^{2} - 1) (- x^{2} - 1)}{(x^{2} - 1) (x (x^{2} - 1))}$

خطوة 12.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- x^{2} - 1}{x (x^{2} - 1)}$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- x^{2} - 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}$

خطوة 13.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- x^{2} - 1}{x^{1} x^{2} + x \cdot - 1}$

خطوة 13.2.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- x^{2} - 1}{x^{1 + 2} + x \cdot - 1}$

خطوة 13.2.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{- x^{2} - 1}{x^{3} + x \cdot - 1}$

خطوة 13.2.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$\frac{- x^{2} - 1}{x^{3} - 1 \cdot x}$

خطوة 13.2.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{- x^{2} - 1}{x^{3} - x}$