حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \cos (x^{4}) (\frac{x}{x + 6})$

خطوة 1

اجمع $\cos (x^{4})$ و $\frac{x}{x + 6}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x^{4}) x}{x + 6}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \cos (x^{4}) x$ و $g (x) = x + 6$ .

$\frac{(x + 6) \frac{d}{d x} [\cos (x^{4}) x] - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \cos (x^{4})$ و $g (x) = x$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [\cos (x^{4})]) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [\cos (x^{4})]) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 4.2

اضرب $\cos (x^{4})$ في $1$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x \frac{d}{d x} [\cos (x^{4})]) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{4}$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}])) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 5.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{4}])) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{4}$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x (- \sin (x^{4}) \frac{d}{d x} [x^{4}])) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x (- \sin (x^{4}) (4 x^{3}))) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 6.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x (- 4 \sin (x^{4}) x^{3})) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{3} x^{1} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{3 + 1} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 9

أضف $3$ و $1$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x (1 + \frac{d}{d x} [6])}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 12

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x (1 + 0)}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 13

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 13.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) - 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 14.1.1.2

وسّع $(x + 6) (\cos (x^{4}) - 4 x^{4} \sin (x^{4}))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (\cos (x^{4}) - 4 x^{4} \sin (x^{4})) + 6 (\cos (x^{4}) - 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 14.1.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cos (x^{4}) + x (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) + 6 (\cos (x^{4}) - 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 14.1.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cos (x^{4}) + x (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 14.1.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 x (x^{4} \sin (x^{4})) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 14.1.1.3.2

اضرب $x$ في $x^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1.3.2.1

انقُل $x^{4}$ .

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 (x^{4} x) \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 14.1.1.3.2.2

اضرب $x^{4}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1.3.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 (x^{4} x^{1}) \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 14.1.1.3.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 x^{4 + 1} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 14.1.1.3.2.3

أضف $4$ و $1$ .

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 14.1.1.3.3

اضرب $- 4$ في $6$ .

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 14.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x \cos (x^{4}) - 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) - \cos (x^{4}) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.2.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $x \cos (x^{4})$ و $- \cos (x^{4}) x$ .

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) - x \cos (x^{4})}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 14.1.2.2

اطرح $x \cos (x^{4})$ من $x \cos (x^{4})$ .

$\frac{- 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) + 0}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 14.1.2.3

أضف $- 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4})$ و $0$ .

$\frac{- 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4})}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 14.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 4 x^{5} \sin (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4})}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 14.3

أخرِج العامل $2$ من $- 4 x^{5} \sin (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4 x^{5} \sin (x^{4})$ .

$\frac{2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4})) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4})}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 14.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 24 x^{4} \sin (x^{4})$ .

$\frac{2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4})) + 2 (- 12 x^{4} \sin (x^{4})) + 6 \cos (x^{4})}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 14.3.3

أخرِج العامل $2$ من $6 \cos (x^{4})$ .

$\frac{2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4})) + 2 (- 12 x^{4} \sin (x^{4})) + 2 (3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 14.3.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4})) + 2 (- 12 x^{4} \sin (x^{4}))$ .

$\frac{2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4}) - 12 x^{4} \sin (x^{4})) + 2 (3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 14.3.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4}) - 12 x^{4} \sin (x^{4})) + 2 (3 \cos (x^{4}))$ .

$\frac{2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4}) - 12 x^{4} \sin (x^{4}) + 3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 14.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x^{5} \sin (x^{4})$ .

$\frac{2 (- (2 x^{5} \sin (x^{4})) - 12 x^{4} \sin (x^{4}) + 3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 14.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- 12 x^{4} \sin (x^{4})$ .

$\frac{2 (- (2 x^{5} \sin (x^{4})) - (12 x^{4} \sin (x^{4})) + 3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 14.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x^{5} \sin (x^{4})) - (12 x^{4} \sin (x^{4}))$ .

$\frac{2 (- (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4})) + 3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 14.7

أخرِج العامل $- 1$ من $3 \cos (x^{4})$ .

$\frac{2 (- (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4})) - (- 3 \cos (x^{4})))}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 14.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4})) - (- 3 \cos (x^{4}))$ .

$\frac{2 (- (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4}) - 3 \cos (x^{4})))}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 14.9

أعِد كتابة $- (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4}) - 3 \cos (x^{4}))$ بالصيغة $- 1 (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4}) - 3 \cos (x^{4}))$ .

$\frac{2 (- 1 (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4}) - 3 \cos (x^{4})))}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 14.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4}) - 3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$