حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (\ln ({(5 x^{- 3})}^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 1

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $5$ من $5 x^{- 3}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln ({(5 (x^{- 3}))}^{\frac{1}{2}}))]$

خطوة 1.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $5 (x^{- 3})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln (5^{\frac{1}{2}} {(x^{- 3})}^{\frac{1}{2}}))]$

خطوة 1.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{- 3})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- 3 (\frac{1}{2})}))]$

خطوة 1.2.2.2

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 3}{2}}))]$

خطوة 1.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}))]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- 3 (\frac{1}{2})})} \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

خطوة 2.3.2

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 3}{2}})} \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

خطوة 2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}])$

خطوة 3.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (\frac{1}{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $x^{- \frac{3}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}])$

خطوة 4.2

اضرب $\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}]$

خطوة 4.3

بما أن $5^{\frac{1}{2}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}])$

خطوة 4.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اجمع $5^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

خطوة 4.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

خطوة 4.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

خطوة 4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{3}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

خطوة 5

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 6

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

خطوة 8.2

اطرح $2$ من $- 3$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

خطوة 9

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

خطوة 10

اجمع $x^{- \frac{5}{2}}$ و $\frac{3}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

خطوة 11

اضرب $\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}$ في $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$- \frac{x^{\frac{3}{2}} (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

خطوة 12

اضرب $x^{\frac{3}{2}}$ في $x^{- \frac{5}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل $x^{- \frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{5}{2}} x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

خطوة 12.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{x^{- \frac{5}{2} + \frac{3}{2}} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

خطوة 12.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{x^{\frac{- 5 + 3}{2}} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

خطوة 12.4

أضف $- 5$ و $3$ .

$- \frac{x^{\frac{- 2}{2}} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

خطوة 12.5

اقسِم $- 2$ على $2$ .

$- \frac{x^{- 1} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

خطوة 13

انقُل $3$ إلى يسار $x^{- 1}$ .

$- \frac{3 \cdot x^{- 1}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

خطوة 14

انقُل $2$ إلى يسار $\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ .

$- \frac{3 x^{- 1}}{2 \cdot \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}$

خطوة 15

انقُل $x^{- 1}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2 \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) x}$

خطوة 16

بسّط $2 \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$- \frac{3}{\ln ({(5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}^{2}) x}$

خطوة 17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{\ln ({(5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})}^{2}) x}$

خطوة 17.2

طبّق قاعدة الضرب على $5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{3}{\ln ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})}^{2}) x}$

خطوة 17.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{3}{\ln ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

خطوة 17.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.4.1

اضرب الأُسس في ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.4.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{\ln (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

خطوة 17.4.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.4.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{3}{\ln (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

خطوة 17.4.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{3}{\ln (5^{1} \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

خطوة 17.4.2

احسِب قيمة الأُس.

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

خطوة 17.4.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

خطوة 17.4.4

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.4.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) x}$

خطوة 17.4.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.4.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) x}$

خطوة 17.4.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1}{x^{3}}) x}$

خطوة 17.4.5

اجمع $5$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{3}{\ln (\frac{5}{x^{3}}) x}$

خطوة 17.5

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{3}{\ln (\frac{5}{x^{3}}) x}$ .

$- \frac{3}{x \ln (\frac{5}{x^{3}})}$