حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (\frac{e^{x}}{e^{x} + 1})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

خطوة 2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$1 \frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

خطوة 3

اضرب $\frac{e^{x} + 1}{e^{x}}$ في $1$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = e^{x} + 1$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (e^{x} + 0)}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 8.2

أضف $e^{x}$ و $0$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 9

اضرب $e^{x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 9.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x + x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 9.3

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 10

اضرب $\frac{e^{x} + 1}{e^{x}}$ في $\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{e^{x} {(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 11

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أخرِج العامل $e^{x} + 1$ من $e^{x} {(e^{x} + 1)}^{2}$ .

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{(e^{x} + 1) (e^{x} (e^{x} + 1))}$

خطوة 11.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{(e^{x} + 1) (e^{x} (e^{x} + 1))}$

خطوة 11.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

خطوة 12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

خطوة 12.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1.1

اضرب $e^{x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{e^{x + x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

خطوة 12.3.1.1.2

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{e^{2 x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

خطوة 12.3.1.2

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$\frac{e^{2 x} + e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

خطوة 12.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $e^{2 x} + e^{x} - e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.1

اطرح $e^{2 x}$ من $e^{2 x}$ .

$\frac{0 + e^{x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

خطوة 12.3.2.2

أضف $0$ و $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

خطوة 12.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

اضرب $e^{x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{e^{x}}{e^{x + x} + e^{x} \cdot 1}$

خطوة 12.4.1.2

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{e^{x}}{e^{2 x} + e^{x} \cdot 1}$

خطوة 12.4.2

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$\frac{e^{x}}{e^{2 x} + e^{x}}$

خطوة 12.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

أعِد كتابة $e^{2 x}$ بالصيغة ${(e^{x})}^{2}$ .

$\frac{e^{x}}{{(e^{x})}^{2} + e^{x}}$

خطوة 12.5.2

لنفترض أن $u = e^{x}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{u^{2} + u}$

خطوة 12.5.3

أخرِج العامل $u$ من $u^{2} + u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.3.1

أخرِج العامل $u$ من $u^{2}$ .

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u}$

خطوة 12.5.3.2

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u^{1}}$

خطوة 12.5.3.3

أخرِج العامل $u$ من $u^{1}$ .

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u \cdot 1}$

خطوة 12.5.3.4

أخرِج العامل $u$ من $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$\frac{e^{x}}{u (u + 1)}$

خطوة 12.5.4

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

خطوة 12.6

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

خطوة 12.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{e^{x} + 1}$