حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \arctan (\frac{x - 1}{x + 1})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arctan (x)$ و $g (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

خطوة 1.2

مشتق $\arctan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x - 1$ و $g (x) = x + 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.2

اضرب $x + 1$ في $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.8.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.8.3

اضرب $\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}}$ في $\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{(1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}) {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x + 1 - x - - 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 1 - x - - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{0 + 1 - - 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 4.3.1.2

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{1 - - 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 4.3.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 4.3.3

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 4.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{2}{(\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 4.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2}{\frac{{(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 4.4.3

اجمع $\frac{{(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ و ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{2}{\frac{({(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}}$

خطوة 4.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{\frac{({(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}}$

خطوة 4.4.4.2

اقسِم ${(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}$ على $1$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

أعِد كتابة ${(x + 1)}^{2}$ بالصيغة $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{2}{(x + 1) (x + 1) + {(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.2

وسّع $(x + 1) (x + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2}{x (x + 1) + 1 (x + 1) + {(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) + {(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2}{x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.3.1.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{2}{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.3.1.3

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{2}{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.3.1.4

اضرب $1$ في $1$ .

$\frac{2}{x^{2} + x + x + 1 + {(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.3.2

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + {(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.4

أعِد كتابة ${(x - 1)}^{2}$ بالصيغة $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (x - 1)}$

خطوة 4.5.5

وسّع $(x - 1) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x (x - 1) - 1 (x - 1)}$

خطوة 4.5.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}$

خطوة 4.5.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}$

خطوة 4.5.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.6.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}$

خطوة 4.5.6.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

خطوة 4.5.6.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

خطوة 4.5.6.1.4

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1}$

خطوة 4.5.6.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - x - x + 1}$

خطوة 4.5.6.2

اطرح $x$ من $- x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - 2 x + 1}$

خطوة 4.5.7

أضف $x^{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 2 x + 1 - 2 x + 1}$

خطوة 4.5.8

اطرح $2 x$ من $2 x$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 0 + 1 + 1}$

خطوة 4.5.9

أضف $2 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 1 + 1}$

خطوة 4.5.10

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 2}$

خطوة 4.5.11

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.11.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2}$

خطوة 4.5.11.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2 (1)}$

خطوة 4.5.11.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

خطوة 4.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

خطوة 4.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$