حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (x) \cos (\ln (x))$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \cos (\ln (x))$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))] + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\ln (x)$ .

$\ln (x) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$\ln (x) (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\ln (x)$ .

$\ln (x) (- \sin (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) (- \sin (\ln (x)) \frac{1}{x}) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $\sin (\ln (x))$ .

$\ln (x) (- \frac{\sin (\ln (x))}{x}) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 4.2

اجمع $\ln (x)$ و $\frac{\sin (\ln (x))}{x}$ .

$- \frac{\ln (x) \sin (\ln (x))}{x} + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 5

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x) \sin (\ln (x))}{x} + \cos (\ln (x)) \frac{1}{x}$

خطوة 6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\cos (\ln (x))$ و $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x) \sin (\ln (x))}{x} + \frac{\cos (\ln (x))}{x}$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\cos (\ln (x))}{x} - \frac{\ln (x) \sin (\ln (x))}{x}$