حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (x) \cdot \log_{5} (\sin (x))$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \log_{5} (\sin (x))$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\log_{5} (\sin (x))] + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \log_{5} (x)$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sin (x)$ .

$\ln (x) (\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 2.2

مشتق $\log_{5} (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$\ln (x) (\frac{1}{\sin (x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3

اجمع $\frac{1}{\sin (x) \ln (5)}$ و $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{\sin (x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 4

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{\sin (x) \ln (5)} \cos (x) + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 5

اجمع $\frac{\ln (x)}{\sin (x) \ln (5)}$ و $\cos (x)$ .

$\frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x) \ln (5)} + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 6

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x) \ln (5)} + \log_{5} (\sin (x)) \frac{1}{x}$

خطوة 7

اجمع $\log_{5} (\sin (x))$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x) \ln (5)} + \frac{\log_{5} (\sin (x))}{x}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\log_{5} (\sin (x))}{x} + \frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x) \ln (5)}$

خطوة 8.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

افصِل الكسور.

$\frac{\log_{5} (\sin (x))}{x} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

خطوة 8.2.2

حوّل من $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ إلى $\cot (x)$ .

$\frac{\log_{5} (\sin (x))}{x} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)} \cot (x)$

خطوة 8.2.3

اجمع $\frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ و $\cot (x)$ .

$\frac{\log_{5} (\sin (x))}{x} + \frac{\ln (x) \cot (x)}{\ln (5)}$