حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (z) = (z^{14} + z^{7} + 1) (z^{8} - z)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ هو $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ حيث $f (z) = z^{14} + z^{7} + 1$ و $g (z) = z^{8} - z$ .

$(z^{14} + z^{7} + 1) \frac{d}{d z} [z^{8} - z] + (z^{8} - z) \frac{d}{d z} [z^{14} + z^{7} + 1]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $z^{8} - z$ بالنسبة إلى $z$ هو $\frac{d}{d z} [z^{8}] + \frac{d}{d z} [- z]$ .

$(z^{14} + z^{7} + 1) (\frac{d}{d z} [z^{8}] + \frac{d}{d z} [- z]) + (z^{8} - z) \frac{d}{d z} [z^{14} + z^{7} + 1]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 8$ .

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} + \frac{d}{d z} [- z]) + (z^{8} - z) \frac{d}{d z} [z^{14} + z^{7} + 1]$

خطوة 2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، إذن مشتق $- z$ بالنسبة إلى $z$ يساوي $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - \frac{d}{d z} [z]) + (z^{8} - z) \frac{d}{d z} [z^{14} + z^{7} + 1]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1 \cdot 1) + (z^{8} - z) \frac{d}{d z} [z^{14} + z^{7} + 1]$

خطوة 2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) \frac{d}{d z} [z^{14} + z^{7} + 1]$

خطوة 2.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $z^{14} + z^{7} + 1$ بالنسبة إلى $z$ هو $\frac{d}{d z} [z^{14}] + \frac{d}{d z} [z^{7}] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (\frac{d}{d z} [z^{14}] + \frac{d}{d z} [z^{7}] + \frac{d}{d z} [1])$

خطوة 2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 14$ .

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + \frac{d}{d z} [z^{7}] + \frac{d}{d z} [1])$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6} + \frac{d}{d z} [1])$

خطوة 2.9

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $z$ هو $0$ .

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6} + 0)$

خطوة 2.10

أضف $14 z^{13} + 7 z^{6}$ و $0$ .

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6})$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $1$ من $(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $1$ من $(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1)$ .

$1 ((z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1)) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6})$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $1$ من $(z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6})$ .

$1 ((z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1)) + 1 ((z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6}))$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $1$ من $1 ((z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1)) + 1 ((z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6}))$ .

$1 ((z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6}))$

خطوة 3.2

اضرب $(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6})$ في $1$ .

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6})$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$(8 z^{7} - 1) (z^{14} + z^{7} + 1) + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

خطوة 3.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

وسّع $(8 z^{7} - 1) (z^{14} + z^{7} + 1)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$8 z^{7} z^{14} + 8 z^{7} z^{7} + 8 z^{7} \cdot 1 - 1 z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

خطوة 3.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اضرب $z^{7}$ في $z^{14}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

انقُل $z^{14}$ .

$8 (z^{14} z^{7}) + 8 z^{7} z^{7} + 8 z^{7} \cdot 1 - 1 z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

خطوة 3.4.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$8 z^{14 + 7} + 8 z^{7} z^{7} + 8 z^{7} \cdot 1 - 1 z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

خطوة 3.4.2.1.3

أضف $14$ و $7$ .

$8 z^{21} + 8 z^{7} z^{7} + 8 z^{7} \cdot 1 - 1 z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

خطوة 3.4.2.2

اضرب $z^{7}$ في $z^{7}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

انقُل $z^{7}$ .

$8 z^{21} + 8 (z^{7} z^{7}) + 8 z^{7} \cdot 1 - 1 z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

خطوة 3.4.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$8 z^{21} + 8 z^{7 + 7} + 8 z^{7} \cdot 1 - 1 z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

خطوة 3.4.2.2.3

أضف $7$ و $7$ .

$8 z^{21} + 8 z^{14} + 8 z^{7} \cdot 1 - 1 z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

خطوة 3.4.2.3

اضرب $8$ في $1$ .

$8 z^{21} + 8 z^{14} + 8 z^{7} - 1 z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

خطوة 3.4.2.4

أعِد كتابة $- 1 z^{14}$ بالصيغة $- z^{14}$ .

$8 z^{21} + 8 z^{14} + 8 z^{7} - z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

خطوة 3.4.2.5

أعِد كتابة $- 1 z^{7}$ بالصيغة $- z^{7}$ .

$8 z^{21} + 8 z^{14} + 8 z^{7} - z^{14} - z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

خطوة 3.4.2.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$8 z^{21} + 8 z^{14} + 8 z^{7} - z^{14} - z^{7} - 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

خطوة 3.4.3

اطرح $z^{14}$ من $8 z^{14}$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 8 z^{7} - z^{7} - 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

خطوة 3.4.4

اطرح $z^{7}$ من $8 z^{7}$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

خطوة 3.4.5

وسّع $(14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{13} (z^{8} - z) + 7 z^{6} (z^{8} - z)$

خطوة 3.4.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{13} z^{8} + 14 z^{13} (- z) + 7 z^{6} (z^{8} - z)$

خطوة 3.4.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{13} z^{8} + 14 z^{13} (- z) + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

خطوة 3.4.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1.1

اضرب $z^{13}$ في $z^{8}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1.1.1

انقُل $z^{8}$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 (z^{8} z^{13}) + 14 z^{13} (- z) + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

خطوة 3.4.6.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{8 + 13} + 14 z^{13} (- z) + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

خطوة 3.4.6.1.1.3

أضف $8$ و $13$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} + 14 z^{13} (- z) + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

خطوة 3.4.6.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} + 14 \cdot - 1 z^{13} z + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

خطوة 3.4.6.1.3

اضرب $z^{13}$ في $z$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1.3.1

انقُل $z$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} + 14 \cdot - 1 (z \cdot z^{13}) + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

خطوة 3.4.6.1.3.2

اضرب $z$ في $z^{13}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1.3.2.1

ارفع $z$ إلى القوة $1$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} + 14 \cdot - 1 (z^{1} z^{13}) + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

خطوة 3.4.6.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} + 14 \cdot - 1 z^{1 + 13} + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

خطوة 3.4.6.1.3.3

أضف $1$ و $13$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} + 14 \cdot - 1 z^{14} + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

خطوة 3.4.6.1.4

اضرب $14$ في $- 1$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

خطوة 3.4.6.1.5

اضرب $z^{6}$ في $z^{8}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1.5.1

انقُل $z^{8}$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 (z^{8} z^{6}) + 7 z^{6} (- z)$

خطوة 3.4.6.1.5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{8 + 6} + 7 z^{6} (- z)$

خطوة 3.4.6.1.5.3

أضف $8$ و $6$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{14} + 7 z^{6} (- z)$

خطوة 3.4.6.1.6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{14} + 7 \cdot - 1 z^{6} z$

خطوة 3.4.6.1.7

اضرب $z^{6}$ في $z$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1.7.1

انقُل $z$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{14} + 7 \cdot - 1 (z \cdot z^{6})$

خطوة 3.4.6.1.7.2

اضرب $z$ في $z^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1.7.2.1

ارفع $z$ إلى القوة $1$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{14} + 7 \cdot - 1 (z^{1} z^{6})$

خطوة 3.4.6.1.7.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{14} + 7 \cdot - 1 z^{1 + 6}$

خطوة 3.4.6.1.7.3

أضف $1$ و $6$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{14} + 7 \cdot - 1 z^{7}$

خطوة 3.4.6.1.8

اضرب $7$ في $- 1$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{14} - 7 z^{7}$

خطوة 3.4.6.2

أضف $- 14 z^{14}$ و $7 z^{14}$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 7 z^{14} - 7 z^{7}$

خطوة 3.5

جمّع الحدود المتعاكسة في $8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 7 z^{14} - 7 z^{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اطرح $7 z^{14}$ من $7 z^{14}$ .

$8 z^{21} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} + 0 - 7 z^{7}$

خطوة 3.5.2

أضف $8 z^{21} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21}$ و $0$ .

$8 z^{21} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 7 z^{7}$

خطوة 3.5.3

اطرح $7 z^{7}$ من $7 z^{7}$ .

$8 z^{21} - 1 + 14 z^{21} + 0$

خطوة 3.5.4

أضف $8 z^{21} - 1 + 14 z^{21}$ و $0$ .

$8 z^{21} - 1 + 14 z^{21}$

خطوة 3.6

أضف $8 z^{21}$ و $14 z^{21}$ .

$22 z^{21} - 1$