حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (y) = y \ln (11 x + 5 y)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = y$ و $g (y) = \ln (11 x + 5 y)$ .

$y \frac{d}{d y} [\ln (11 x + 5 y)] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \ln (y)$ و $g (y) = 11 x + 5 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $11 x + 5 y$ .

$y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [11 x + 5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [11 x + 5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $11 x + 5 y$ .

$y (\frac{1}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [11 x + 5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{11 x + 5 y}$ و $y$ .

$\frac{y}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [11 x + 5 y] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $11 x + 5 y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [11 x] + \frac{d}{d y} [5 y]$ .

$\frac{y}{11 x + 5 y} (\frac{d}{d y} [11 x] + \frac{d}{d y} [5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 3.3

بما أن $11 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $11 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{y}{11 x + 5 y} (0 + \frac{d}{d y} [5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 3.4

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [5 y]$ .

$\frac{y}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [5 y] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 3.5

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $5 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y}{11 x + 5 y} (5 \frac{d}{d y} [y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 3.6

اجمع $5$ و $\frac{y}{11 x + 5 y}$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [y] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} \cdot 1 + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 3.8

اضرب $\frac{5 y}{11 x + 5 y}$ في $1$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \ln (11 x + 5 y) \cdot 1$

خطوة 3.10

اضرب $\ln (11 x + 5 y)$ في $1$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \ln (11 x + 5 y)$

خطوة 4

لكتابة $\ln (11 x + 5 y)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{11 x + 5 y}{11 x + 5 y}$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \frac{\ln (11 x + 5 y) (11 x + 5 y)}{11 x + 5 y}$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{5 y + \ln (11 x + 5 y) (11 x + 5 y)}{11 x + 5 y}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{5 y + \ln (11 x + 5 y) (11 x) + \ln (11 x + 5 y) (5 y)}{11 x + 5 y}$

خطوة 6.1.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{5 y + 11 \ln (11 x + 5 y) x + \ln (11 x + 5 y) (5 y)}{11 x + 5 y}$

خطوة 6.1.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{5 y + 11 \ln (11 x + 5 y) x + 5 \ln (11 x + 5 y) y}{11 x + 5 y}$

خطوة 6.1.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.4.1

بسّط $11 \ln (11 x + 5 y)$ بنقل $11$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{5 y + \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) x + 5 \ln (11 x + 5 y) y}{11 x + 5 y}$

خطوة 6.1.1.4.2

بسّط $5 \ln (11 x + 5 y)$ بنقل $5$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{5 y + \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) x + \ln ({(11 x + 5 y)}^{5}) y}{11 x + 5 y}$

خطوة 6.1.2

أعِد ترتيب العوامل في $5 y + \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) x + \ln ({(11 x + 5 y)}^{5}) y$ .

$\frac{5 y + x \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) + y \ln ({(11 x + 5 y)}^{5})}{11 x + 5 y}$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{x \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) + y \ln ({(11 x + 5 y)}^{5}) + 5 y}{11 x + 5 y}$