حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x {(x - 4)}^{3} + 3$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x {(x - 4)}^{3} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 4$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.5

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.7

أضف $1$ و $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.8

اضرب $3$ في $1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.9

اضرب ${(x - 4)}^{3}$ في $1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} + 0$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أضف $x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ و $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب الحدود.

${(x - 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

خطوة 4.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

خطوة 4.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

خطوة 4.3.2.2

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

خطوة 4.3.2.3

اضرب $16$ في $3$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

خطوة 4.3.2.4

ارفع $- 4$ إلى القوة $3$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x {(x - 4)}^{2}$

خطوة 4.3.3

أعِد كتابة ${(x - 4)}^{2}$ بالصيغة $(x - 4) (x - 4)$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x ((x - 4) (x - 4))$

خطوة 4.3.4

وسّع $(x - 4) (x - 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x (x - 4) - 4 (x - 4))$

خطوة 4.3.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4))$

خطوة 4.3.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)$

خطوة 4.3.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)$

خطوة 4.3.5.1.2

انقُل $- 4$ إلى يسار $x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4)$

خطوة 4.3.5.1.3

اضرب $- 4$ في $- 4$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 4 x - 4 x + 16)$

خطوة 4.3.5.2

اطرح $4 x$ من $- 4 x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 8 x + 16)$

خطوة 4.3.6

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x \cdot x^{2} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

خطوة 4.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 (x^{2} x) + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

خطوة 4.3.7.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 (x^{2} x^{1}) + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

خطوة 4.3.7.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{2 + 1} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

خطوة 4.3.7.1.3

أضف $2$ و $1$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

خطوة 4.3.7.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x \cdot x + 3 x \cdot 16$

خطوة 4.3.7.3

اضرب $16$ في $3$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x \cdot x + 48 x$

خطوة 4.3.8

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.8.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.8.1.1

انقُل $x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 (x \cdot x) + 48 x$

خطوة 4.3.8.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x^{2} + 48 x$

خطوة 4.3.8.2

اضرب $3$ في $- 8$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x$

خطوة 4.4

أضف $x^{3}$ و $3 x^{3}$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 - 24 x^{2} + 48 x$

خطوة 4.5

اطرح $24 x^{2}$ من $- 12 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 64 + 48 x$

خطوة 4.6

أضف $48 x$ و $48 x$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$