حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x \sqrt{5 - 3 x}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5 - 3 x}$ في صورة ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 5 - 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $5 - 3 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 - 3 x$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 8.3

انقُل ${(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 8.4

اجمع $\frac{1}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 - 3 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 10

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 11

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 3 x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 12

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (- 3 \frac{d}{d x} [x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 13

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع $- 3$ و $\frac{x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 13.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 14

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{3 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 15

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{3 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 16

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{3 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

خطوة 17

اضرب ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$- \frac{3 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 18

لكتابة ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 19

اجمع ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 3 x + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 21

اضرب ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1

انقُل ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 3 x + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 21.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 3 x + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 21.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 3 x + {(5 - 3 x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 21.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- 3 x + {(5 - 3 x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 21.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{- 3 x + {(5 - 3 x)}^{1} \cdot 2}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22

بسّط ${(5 - 3 x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- 3 x + (5 - 3 x) \cdot 2}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23

انقُل $2$ إلى يسار $5 - 3 x$ .

$\frac{- 3 x + 2 \cdot (5 - 3 x)}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 3 x + 2 \cdot 5 + 2 (- 3 x)}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.1.1

اضرب $2$ في $5$ .

$\frac{- 3 x + 10 + 2 (- 3 x)}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24.2.1.2

اضرب $- 3$ في $2$ .

$\frac{- 3 x + 10 - 6 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24.2.2

اطرح $6 x$ من $- 3 x$ .

$\frac{- 9 x + 10}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 9 x$ .

$\frac{- (9 x) + 10}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24.4

أعِد كتابة $10$ بالصيغة $- 1 (- 10)$ .

$\frac{- (9 x) - 1 (- 10)}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (9 x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{- (9 x - 10)}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24.6

أعِد كتابة $- (9 x - 10)$ بالصيغة $- 1 (9 x - 10)$ .

$\frac{- 1 (9 x - 10)}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{9 x - 10}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$