حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - \cos (2 x) + \sin (2 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \cos (2 x) + \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 1.2.2.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$- (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$- (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 1.2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 1.2.5

اضرب $2$ في $1$ .

$- (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 1.2.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 1.2.7

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x$ .

$2 \sin (2 x) + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.3.1.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (2 x) + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$2 \sin (2 x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (2 x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \sin (2 x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

خطوة 1.3.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2 \sin (2 x) + \cos (2 x) \cdot 2$

خطوة 1.3.5

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

خطوة 2.2.2.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$f'' (x) = 2 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

خطوة 2.2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

خطوة 2.2.5

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = 2 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

خطوة 2.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

خطوة 2.2.7

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.3.2.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

خطوة 2.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

خطوة 2.3.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

خطوة 2.3.7

اضرب $- 2$ في $2$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) - 4 \sin (2 x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) = 0$

خطوة 4

اقسِم كل حد في المعادلة على $\cos (2 x)$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

خطوة 5

افصِل الكسور.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

خطوة 6

حوّل من $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ إلى $\tan (2 x)$ .

$\frac{2}{1} \cdot \tan (2 x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

خطوة 7

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 \tan (2 x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

خطوة 8

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \tan (2 x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

خطوة 8.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 \tan (2 x) + 2 = \frac{0}{\cos (2 x)}$

خطوة 9

افصِل الكسور.

$2 \tan (2 x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

خطوة 10

حوّل من $\frac{1}{\cos (2 x)}$ إلى $\sec (2 x)$ .

$2 \tan (2 x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \sec (2 x)$

خطوة 11

اقسِم $0$ على $1$ .

$2 \tan (2 x) + 2 = 0 \sec (2 x)$

خطوة 12

اضرب $0$ في $\sec (2 x)$ .

$2 \tan (2 x) + 2 = 0$

خطوة 13

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$2 \tan (2 x) = - 2$

خطوة 14

اقسِم كل حد في $2 \tan (2 x) = - 2$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اقسِم كل حد في $2 \tan (2 x) = - 2$ على $2$ .

$\frac{2 \tan (2 x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

خطوة 14.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \tan (2 x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

خطوة 14.2.1.2

اقسِم $\tan (2 x)$ على $1$ .

$\tan (2 x) = \frac{- 2}{2}$

خطوة 14.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

اقسِم $- 2$ على $2$ .

$\tan (2 x) = - 1$

خطوة 15

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$2 x = \arctan (- 1)$

خطوة 16

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (- 1)$ هي $- \frac{π}{4}$ .

$2 x = - \frac{π}{4}$

خطوة 17

اقسِم كل حد في $2 x = - \frac{π}{4}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

اقسِم كل حد في $2 x = - \frac{π}{4}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

خطوة 17.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

خطوة 17.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

خطوة 17.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 17.3.2

اضرب $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.3.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 4}$

خطوة 17.3.2.2

اضرب $2$ في $4$ .

$x = - \frac{π}{8}$

خطوة 18

دالة المماس سالبة في الربعين الثاني والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$2 x = - \frac{π}{4} - π$

خطوة 19

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

أضف $2 π$ إلى $- \frac{π}{4} - π$ .

$2 x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

خطوة 19.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{4}$ موجبة ومشتركة النهاية مع $- \frac{π}{4} - π$ .

$2 x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 19.3

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{3 π}{4}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.3.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{3 π}{4}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

خطوة 19.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

خطوة 19.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

خطوة 19.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.3.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 19.3.3.2

اضرب $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.3.3.2.1

اضرب $\frac{3 π}{4}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 2}$

خطوة 19.3.3.2.2

اضرب $4$ في $2$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

خطوة 20

حل المعادلة $2 x = - \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}$

خطوة 21

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - \frac{π}{8}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$4 \cos (2 (- \frac{π}{8})) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

خطوة 22

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{8}$ إلى بسط الكسر.

$4 \cos (2 \frac{- π}{8}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

خطوة 22.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$4 \cos (2 \frac{- π}{2 (4)}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

خطوة 22.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$4 \cos (2 \frac{- π}{2 \cdot 4}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

خطوة 22.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$4 \cos (\frac{- π}{4}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

خطوة 22.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 \cos (- \frac{π}{4}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

خطوة 22.1.3

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$4 \cos (\frac{7 π}{4}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

خطوة 22.1.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$4 \cos (\frac{π}{4}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

خطوة 22.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

خطوة 22.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1.6.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 (2) \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

خطوة 22.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 2 \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

خطوة 22.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

خطوة 22.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1.7.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{8}$ إلى بسط الكسر.

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 \frac{- π}{8})$

خطوة 22.1.7.2

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 \frac{- π}{2 (4)})$

خطوة 22.1.7.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 \frac{- π}{2 \cdot 4})$

خطوة 22.1.7.4

أعِد كتابة العبارة.

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (\frac{- π}{4})$

خطوة 22.1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (- \frac{π}{4})$

خطوة 22.1.9

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (\frac{7 π}{4})$

خطوة 22.1.10

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$2 \sqrt{2} - 4 (- \sin (\frac{π}{4}))$

خطوة 22.1.11

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} - 4 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 22.1.12

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1.12.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$2 \sqrt{2} - 4 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

خطوة 22.1.12.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$2 \sqrt{2} + 2 (- 2) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

خطوة 22.1.12.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \sqrt{2} + 2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

خطوة 22.1.12.4

أعِد كتابة العبارة.

$2 \sqrt{2} - 2 (- \sqrt{2})$

خطوة 22.1.13

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}$

خطوة 22.2

أضف $2 \sqrt{2}$ و $2 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2}$

خطوة 23

$x = - \frac{π}{8}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - \frac{π}{8}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 24

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - \frac{π}{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{π}{8}$ في العبارة.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (2 (- \frac{π}{8})) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

خطوة 24.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{8}$ إلى بسط الكسر.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (2 (\frac{- π}{8})) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

خطوة 24.2.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (2 (\frac{- π}{2 (4)})) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

خطوة 24.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (2 (\frac{- π}{2 \cdot 4})) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

خطوة 24.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (\frac{- π}{4}) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

خطوة 24.2.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

خطوة 24.2.1.3

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

خطوة 24.2.1.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (\frac{π}{4}) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

خطوة 24.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

خطوة 24.2.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.1.6.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{8}$ إلى بسط الكسر.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{- π}{8}))$

خطوة 24.2.1.6.2

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{- π}{2 (4)}))$

خطوة 24.2.1.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{- π}{2 \cdot 4}))$

خطوة 24.2.1.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{- π}{4})$

خطوة 24.2.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (- \frac{π}{4})$

خطوة 24.2.1.8

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{7 π}{4})$

خطوة 24.2.1.9

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 24.2.1.10

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 24.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

خطوة 24.2.2.2

اطرح $\sqrt{2}$ من $- \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 24.2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

خطوة 24.2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

خطوة 24.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

خطوة 24.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

خطوة 24.2.2.3.2.4

اقسِم $- \sqrt{2}$ على $1$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \sqrt{2}$

خطوة 24.2.3

الإجابة النهائية هي $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

خطوة 25

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{3 π}{8}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$4 \cos (2 (\frac{3 π}{8})) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 26

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 26.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 26.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 26.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$4 \cos (2 \frac{3 π}{2 (4)}) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 26.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 \cos (2 \frac{3 π}{2 \cdot 4}) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 26.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 \cos (\frac{3 π}{4}) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 26.1.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$4 (- \cos (\frac{π}{4})) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 26.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 26.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 26.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$4 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 26.1.4.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 (2) \frac{- \sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 26.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 2 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 26.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$2 (- \sqrt{2}) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 26.1.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 26.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 26.1.6.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$- 2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 \frac{3 π}{2 (4)})$

خطوة 26.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 4})$

خطوة 26.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 \sqrt{2} - 4 \sin (\frac{3 π}{4})$

خطوة 26.1.7

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$- 2 \sqrt{2} - 4 \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 26.1.8

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \sqrt{2} - 4 \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 26.1.9

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 26.1.9.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$- 2 \sqrt{2} + 2 (- 2) \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 26.1.9.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 \sqrt{2} + 2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 26.1.9.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}$

خطوة 26.2

اطرح $2 \sqrt{2}$ من $- 2 \sqrt{2}$ .

$- 4 \sqrt{2}$

خطوة 27

$x = \frac{3 π}{8}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{3 π}{8}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 28

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{3 π}{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 28.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3 π}{8}$ في العبارة.

$f (\frac{3 π}{8}) = - \cos (2 (\frac{3 π}{8})) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 28.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 28.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 28.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 28.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - \cos (2 (\frac{3 π}{2 (4)})) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 28.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3 π}{8}) = - \cos (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 4})) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 28.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3 π}{8}) = - \cos (\frac{3 π}{4}) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 28.2.1.2

$f (\frac{3 π}{8}) = \cos (\frac{π}{4}) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 28.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 28.2.1.4

اضرب $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 28.2.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 28.2.1.4.2

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 28.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 28.2.1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{3 π}{2 (4)}))$

خطوة 28.2.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 4}))$

خطوة 28.2.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{3 π}{4})$

خطوة 28.2.1.6

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 28.2.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 28.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 28.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

خطوة 28.2.2.2

أضف $\sqrt{2}$ و $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 28.2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 28.2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 28.2.2.3.2

اقسِم $\sqrt{2}$ على $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = \sqrt{2}$

خطوة 28.2.3

الإجابة النهائية هي $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

خطوة 29

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = - \cos (2 x) + \sin (2 x)$ .

$(- \frac{π}{8}, - \sqrt{2})$ هي نقاط دنيا محلية

$(\frac{3 π}{8}, \sqrt{2})$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 30